哈尔滨工业大学 2011年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left|\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{3} & x_{1} & x_{2} \\ x_{2} & x_{3} & x_{1}\end{array}\right|, \sigma_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}, \sigma_{2}=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}, \sigma_{3}=x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 。
（1）将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 表成 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}$ 的多项式；
（2）当 $\displaystyle a, b, c$ 是方程 $\displaystyle x^{3}+p x+q=0$ 的三个根时，求 $\displaystyle f(a, b, c)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算行列式
计算行列式 $f(x_1, x_2, x_3) = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ x_3 & x_1 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_1 \end{vmatrix}$，按第一行展开：$f = x_1 \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_1 \end{vmatrix} - x_2 \begin{vmatrix} x_3 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{vmatrix} + x_3 \begin{vmatrix} x_3 & x_1 \\ x_2 & x_3 \end{vmatrix}$。
公式：行列式展开公式
提示：注意符号：第二项系数为负。
步骤 2/7
目标：计算各二阶子式
计算各二阶子式：$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_1 \end{vmatrix} = x_1^2 - x_2 x_3$，$\begin{vmatrix} x_3 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{vmatrix} = x_3 x_1 - x_2^2$，$\begin{vmatrix} x_3 & x_1 \\ x_2 & x_3 \end{vmatrix} = x_3^2 - x_1 x_2$。
公式：二阶行列式公式
提示：注意行列式计算顺序：主对角线乘积减副对角线乘积。
步骤 3/7
目标：代入并化简
代入得：$f = x_1(x_1^2 - x_2 x_3) - x_2(x_3 x_1 - x_2^2) + x_3(x_3^2 - x_1 x_2) = x_1^3 - x_1 x_2 x_3 - x_1 x_2 x_3 + x_2^3 + x_3^3 - x_1 x_2 x_3 = x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 3x_1 x_2 x_3$。
提示：合并同类项时注意符号，$- x_2(x_3 x_1 - x_2^2) = -x_1 x_2 x_3 + x_2^3$。
步骤 4/7
目标：利用对称多项式恒等式
已知恒等式：$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 - 3x_1 x_2 x_3 = (x_1 + x_2 + x_3)(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_1 x_2 - x_1 x_3 - x_2 x_3)$。
公式：$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
提示：此恒等式是常用公式，需熟记。
步骤 5/7
目标：用初等对称多项式表示
设 $\sigma_1 = x_1+x_2+x_3$，$\sigma_2 = x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3$，则 $x_1^2+x_2^2+x_3^2 = \sigma_1^2 - 2\sigma_2$，所以 $x_1^2+x_2^2+x_3^2 - x_1 x_2 - x_1 x_3 - x_2 x_3 = \sigma_1^2 - 3\sigma_2$。因此 $f = \sigma_1 (\sigma_1^2 - 3\sigma_2) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1 \sigma_2$。
公式：$\sigma_1^2 = x_1^2+x_2^2+x_3^2 + 2\sigma_2$
提示：注意 $\sigma_3$ 未出现，因为 $f$ 中 $x_1 x_2 x_3$ 项系数为 $-3$，而展开后一致。
步骤 6/7
目标：应用韦达定理
当 $a,b,c$ 是方程 $x^3 + p x + q = 0$ 的三个根时，由韦达定理：$\sigma_1 = a+b+c = 0$，$\sigma_2 = ab+ac+bc = p$，$\sigma_3 = abc = -q$。
公式：韦达定理：$x^3+px+q=0$ 的根满足 $\sigma_1=0, \sigma_2=p, \sigma_3=-q$
提示：注意三次项系数为1，缺二次项，故 $\sigma_1=0$。
步骤 7/7
目标：代入求值
代入 (1) 结果：$f(a,b,c) = \sigma_1^3 - 3\sigma_1 \sigma_2 = 0^3 - 3 \cdot 0 \cdot p = 0$。
提示：由于 $\sigma_1=0$，结果恒为0，与 $p,q$ 无关。
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