哈尔滨工业大学 2011年高等代数第6题
📝 题目
6．证明：对会定的自然数 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 然系数多项式的体合
$$
V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\}
$$
关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义集合V并明确条件
设 $V = \{ f(x) \in \mathbb{R}[x] \mid f(1)=0, \partial f(x) < n \}$，其中 $n \geq 2$。
提示：注意多项式次数严格小于n，且n≥2。
步骤 2/7
目标：验证加法封闭性
对任意 $f(x), g(x) \in V$，有 $f(1)=0$，$g(1)=0$。则 $(f+g)(1)=f(1)+g(1)=0$，且 $\partial(f+g) \leq \max\{\partial f, \partial g\} < n$，所以 $f+g \in V$。
公式：$(f+g)(1)=f(1)+g(1)$
提示：注意次数可能相等，但最大值仍小于n。
步骤 3/7
目标：验证数乘封闭性
对任意 $f(x) \in V$，$k \in \mathbb{R}$，有 $(kf)(1)=k \cdot f(1)=0$，且 $\partial(kf) = \partial f < n$（若 $k \neq 0$），所以 $kf \in V$。
公式：$(kf)(1)=k f(1)$
提示：当k=0时，零多项式次数未定义，但零多项式属于V（因为0(1)=0且次数视为-∞
步骤 4/7
目标：验证其他线性空间公理
加法交换律、结合律、零元（零多项式）、负元（$-f(x)$）、数乘分配律等均继承自多项式环 $\mathbb{R}[x]$，因此 $V$ 是 $\mathbb{R}$ 上的线性空间。
提示：零多项式满足f(1)=0且次数小于n，故在V中。
步骤 5/7
目标：分析V中多项式的结构
由于 $f(1)=0$，$x-1$ 是 $f(x)$ 的因式。设 $f(x) = (x-1)g(x)$，其中 $g(x) \in \mathbb{R}[x]$。由 $\partial f < n$ 得 $\partial g \leq n-2$。
公式：$f(x) = (x-1)g(x)$
提示：注意g的次数最多为n-2，因为乘以(x-1)后次数加1。
步骤 6/7
目标：写出V中多项式的一般形式
设 $g(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-2} x^{n-2}$，则 $f(x) = (x-1)(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-2} x^{n-2}) = a_0(x-1) + a_1 x(x-1) + \cdots + a_{n-2} x^{n-2}(x-1)$。
公式：$f(x) = \sum_{i=0}^{n-2} a_i x^i (x-1)$
提示：注意系数a_i为任意实数。
步骤 7/7
目标：证明一组基并确定维数
考虑集合 $B = \{x-1, x(x-1), \ldots, x^{n-2}(x-1)\}$。它们线性无关，因为次数互异（分别为1,2,…,n-1）。且任意 $f \in V$ 可由它们线性表示，故 $B$ 是 $V$ 的一组基，维数为 $n-1$。
提示：线性无关性也可通过代入不同x值或比较系数证明。
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