哈尔滨工业大学 2011年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明：
（1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ；
（2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明必要性：列满秩推出存在可逆矩阵P
设 $A$ 是 $m \times n$ 列满秩矩阵，则 $\operatorname{rank}(A)=n$。存在可逆矩阵 $P$ 使得 $PA$ 为行最简形。由于列满秩，行最简形为 $\begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$，即 $PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$，故 $A = P^{-1} \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。令 $P' = P^{-1}$，则 $A = P' \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：PA = \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}
提示：注意行最简形的形式：列满秩时，行最简形的前n行是单位矩阵，下面全为零。
步骤 2/4
目标：证明充分性：存在可逆矩阵P推出列满秩
若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$，则 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix} = n$，故 $A$ 列满秩。
公式：\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}\begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix} = n
提示：可逆矩阵不改变秩。
步骤 3/4
目标：证明必要性：列满秩推出存在行满秩矩阵B
设 $A$ 列满秩，由（1）存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix}$。令 $B = (E_n \, 0) P^{-1}$，则 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $\operatorname{rank}(B) = n$（因为 $P^{-1}$ 可逆），故 $B$ 行满秩。计算 $BA = (E_n \, 0) P^{-1} P \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix} = (E_n \, 0) \begin{pmatrix} E_n \\ 0 \end{pmatrix} = E_n$。
公式：B = (E_n \, 0) P^{-1}, \quad BA = E_n
提示：注意B的构造：取P^{-1}的前n行。
步骤 4/4
目标：证明充分性：存在行满秩矩阵B推出列满秩
若存在行满秩矩阵 $B$ 使得 $BA = E_n$，则 $n = \operatorname{rank}(E_n) = \operatorname{rank}(BA) \leq \operatorname{rank}(A) \leq n$，故 $\operatorname{rank}(A)=n$，即 $A$ 列满秩。
公式：\operatorname{rank}(BA) \leq \operatorname{rank}(A)
提示：利用秩不等式：rank(BA) ≤ min(rank(B), rank(A))，这里rank(B)=n。
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