哈尔滨工业大学 2012年高等代数第5题

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，取一组标准正交基 $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$。线性变换 $\sigma$ 在该基下的矩阵为 $A=(a_{ij})$，即 $\sigma(\varepsilon_j)=\sum_{i=1}^n a_{ij}\varepsilon_i$。

若 $\sigma$ 是反对称的，则对任意 $\alpha,\beta\in V$ 有 $(\sigma\alpha,\beta)=-(\alpha,\sigma\beta)$。取 $\alpha=\varepsilon_k$，$\beta=\varepsilon_l$，则 $(\sigma\varepsilon_k,\varepsilon_l)=-(\varepsilon_k,\sigma\varepsilon_l)$。左边 $=(\sum_i a_{ik}\varepsilon_i,\varepsilon_l)=a_{lk}$，右边 $=-(\varepsilon_k,\sum_j a_{jl}\varepsilon_j)=-a_{kl}$。故 $a_{lk}=-a_{kl}$，即 $A^T=-A$，所以 $A$ 是反对称矩阵。

若 $A$ 是反对称矩阵，即 $a_{ij}=-a_{ji}$。对任意 $\alpha=\sum_i x_i\varepsilon_i$，$\beta=\sum_j y_j\varepsilon_j$，有 $(\sigma\alpha,\beta)=\left(\sum_i x_i\sigma\varepsilon_i,\sum_j y_j\varepsilon_j\right)=\sum_{i,j}x_i y_j (\sigma\varepsilon_i,\varepsilon_j)=\sum_{i,j}x_i y_j a_{ji}$。 而 $(\alpha,\sigma\beta)=\left(\sum_i x_i\varepsilon_i,\sum_j y_j\sigma\varepsilon_j\right)=\sum_{i,j}x_i y_j (\varepsilon_i,\sigma\varepsilon_j)=\sum_{i,j}x_i y_j a_{ij}$。 由 $a_{ji}=-a_{ij}$ 得 $(\sigma\alpha,\beta)=-(\alpha,\sigma\beta)$，故 $\sigma$ 是反对称的。

设 $V_1$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，即 $\sigma(V_1)\subseteq V_1$。要证 $V_1^\perp$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间，即对任意 $\beta\in V_1^\perp$，有 $\sigma\beta\in V_1^\perp$。 任取 $\alpha\in V_1$，由 $\sigma$ 反对称得 $(\sigma\beta,\alpha)=-(\beta,\sigma\alpha)$。因为 $\alpha\in V_1$，$\sigma\alpha\in V_1$，而 $\beta\in V_1^\perp$，故 $(\beta,\sigma\alpha)=0$，从而 $(\sigma\beta,\alpha)=0$。由 $\alpha$ 的任意性知 $\sigma\beta\perp V_1$，即 $\sigma\beta\in V_1^\perp$。因此 $V_1^\perp$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。