哈尔滨工业大学 2012年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $P$ 是个数域，$\displaystyle f(x), g(x), q(x), r(x) \in P[x], f(x)=g(x) q(x)+r(x)$ ，
$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 。证明：$\displaystyle (g(x) r(x), g(x)+r(x))=1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设出最大公因式并利用已知条件
设 $d(x) = (g(x) r(x), g(x) + r(x))$。要证 $d(x) = 1$。由已知 $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ 且 $(f(x), g(x)) = 1$，存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x) f(x) + v(x) g(x) = 1$。
公式：u(x) f(x) + v(x) g(x) = 1
提示：注意最大公因式的定义，以及互素条件的存在性定理。
步骤 2/6
目标：代入f(x)表达式得到关系式
将 $f(x) = g(x) q(x) + r(x)$ 代入 $u(x) f(x) + v(x) g(x) = 1$，得 $u(x) (g(x) q(x) + r(x)) + v(x) g(x) = 1$，整理得 $(u(x) q(x) + v(x)) g(x) + u(x) r(x) = 1$。记 $A(x) = u(x) q(x) + v(x)$，$B(x) = u(x)$，则 $A(x) g(x) + B(x) r(x) = 1$。
公式：A(x) g(x) + B(x) r(x) = 1
提示：注意多项式运算的准确性，不要漏项。
步骤 3/6
目标：利用d(x)整除性质得到g^2(x)被整除
由于 $d(x) \mid g(x) r(x)$ 且 $d(x) \mid g(x) + r(x)$，则 $d(x)$ 整除它们的线性组合：$d(x) \mid (g(x) + r(x)) \cdot g(x) - g(x) r(x) = g^2(x)$。所以 $d(x) \mid g^2(x)$。
公式：d(x) | g^2(x)
提示：线性组合的构造是关键，注意符号。
步骤 4/6
目标：用d(x)表示g(x)和r(x)的关系
由 $d(x) \mid g(x) r(x)$，设 $g(x) r(x) = d(x) h(x)$。由 $d(x) \mid g(x) + r(x)$，设 $g(x) + r(x) = d(x) k(x)$。则 $g(x) = d(x) k(x) - r(x)$。
公式：g(x) = d(x) k(x) - r(x)
提示：注意多项式除法的表示，h(x)和k(x)是多项式。
步骤 5/6
目标：代入互素关系式推出d(x)整除1
将 $g(x) = d(x) k(x) - r(x)$ 代入 $A(x) g(x) + B(x) r(x) = 1$，得 $A(x) (d(x) k(x) - r(x)) + B(x) r(x) = 1$，即 $A(x) d(x) k(x) + (B(x) - A(x)) r(x) = 1$。所以 $d(x) \mid 1$，故 $d(x) = 1$。
公式：A(x) d(x) k(x) + (B(x) - A(x)) r(x) = 1
提示：注意d(x)整除左边第一项，但第二项不一定被d(x)整除，需要整体考虑。
步骤 6/6
目标：结论
因此，$(g(x) r(x), g(x) + r(x)) = 1$。
提示：最终结论要明确。
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