哈尔滨工业大学 2012年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾正交矩阵性质
由于 $A$ 和 $B$ 是正交矩阵，满足 $A^T A = I$，$B^T B = I$，且行列式 $|A| = \pm 1$，$|B| = \pm 1$。
公式：A^T A = I, \quad B^T B = I
提示：正交矩阵的行列式只能是1或-1，但注意并非所有行列式为±1的矩阵都是正交矩阵。
步骤 2/6
目标：利用可逆性构造正定矩阵
已知 $A+B$ 可逆，考虑 $(A+B)^T (A+B)$。计算展开：
\[
(A+B)^T (A+B) = (A^T + B^T)(A+B) = A^T A + A^T B + B^T A + B^T B = I + A^T B + B^T A + I = 2I + A^T B + B^T A.
\]
由于 $A+B$ 可逆，$(A+B)^T (A+B)$ 正定，其行列式大于0。
公式：(A+B)^T (A+B) = 2I + A^T B + B^T A
提示：正定矩阵的行列式大于0，但这里仅用于后续推导，实际证明中不一定需要。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵乘积
考虑 $A^T (A+B) = I + A^T B$。由于 $A^T$ 可逆（正交矩阵可逆），且 $A+B$ 可逆，故乘积 $A^T (A+B)$ 可逆，从而 $I + A^T B$ 可逆。同理，$B^T (A+B) = I + B^T A$ 可逆。
公式：A^T (A+B) = I + A^T B, \quad B^T (A+B) = I + B^T A
提示：注意 $A^T$ 和 $B^T$ 都是可逆矩阵，因此乘积的可逆性传递。
步骤 4/6
目标：建立行列式关系
对 $A+B$ 取行列式，利用 $|A^T| = |A|$ 和 $|B^T| = |B|$：
\[
|A+B| = |A^T (A+B)| = |A^T| \cdot |I + A^T B| = |A| \cdot |I + A^T B|.
\]
同理，
\[
|A+B| = |B^T (A+B)| = |B| \cdot |I + B^T A|.
\]
因此，
\[
|A| \cdot |I + A^T B| = |B| \cdot |I + B^T A|.
\]
公式：|A+B| = |A| \cdot |I + A^T B| = |B| \cdot |I + B^T A|
提示：注意 $|A^T| = |A|$，但 $|A^T| = |A|$ 对任意方阵成立。
步骤 5/6
目标：证明两个行列式相等
由于 $A^T B$ 与 $B^T A$ 互为转置，即 $(A^T B)^T = B^T A$，因此它们有相同的特征值，从而 $|I + A^T B| = |I + B^T A|$。
公式：|I + A^T B| = |I + B^T A|
提示：矩阵与其转置有相同特征值，但注意 $I + M$ 的行列式等于 $M$ 的特征值加1的乘积，因此特征值相同则行列式相等。
步骤 6/6
目标：推导结论
由 $|A| \cdot |I + A^T B| = |B| \cdot |I + B^T A|$ 和 $|I + A^T B| = |I + B^T A|$，且 $|I + A^T B| \neq 0$（因为 $I + A^T B$ 可逆），两边约去非零因子得 $|A| = |B|$。
提示：注意 $I + A^T B$ 可逆保证了其行列式非零，从而可以约去。
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