哈尔滨工业大学 2012年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件和目标
已知 $P$ 是一个数域，$A \in P^{n \times n}$，$\lambda_0 \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根。需要证明：对应于特征值 $\lambda_0$，$A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。
提示：注意区分特征值的代数重数 $m$ 和几何重数 $r$，几何重数即线性无关特征向量的个数。
步骤 2/7
目标：设几何重数为 r
设对应于 $\lambda_0$ 的线性无关的特征向量个数为 $r$，即几何重数为 $r$。我们需要证明 $r \leq m$。
提示：几何重数 $r$ 是特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 的维数。
步骤 3/7
目标：构造特征子空间的一组基并扩充为全空间基
考虑特征子空间 $V_{\lambda_0} = \{ \xi \in P^n \mid A\xi = \lambda_0 \xi \}$，其维数为 $r$。取 $V_{\lambda_0}$ 的一组基 $\xi_1, \dots, \xi_r$，并将其扩充为 $P^n$ 的一组基 $\xi_1, \dots, \xi_r, \eta_{r+1}, \dots, \eta_n$。
提示：扩充基时确保新向量与原有基线性无关。
步骤 4/7
目标：构造可逆矩阵 T 并计算相似变换
设 $T = (\xi_1, \dots, \xi_r, \eta_{r+1}, \dots, \eta_n)$，则 $T$ 可逆。计算 $T^{-1}AT$。由于 $A\xi_i = \lambda_0 \xi_i$ 对 $i=1,\dots,r$，故 $T^{-1}AT$ 的前 $r$ 列为 $\lambda_0 e_i$（$e_i$ 为单位向量），即
$$ T^{-1}AT = \begin{pmatrix} \lambda_0 I_r & B \\ 0 & C \end{pmatrix}, $$
其中 $B \in P^{r \times (n-r)}$，$C \in P^{(n-r) \times (n-r)}$。
公式：相似变换公式：$T^{-1}AT$
提示：注意分块矩阵中左下角为零矩阵，因为 $\eta_j$ 不一定属于特征子空间，但 $A\eta_j$ 在基下的表示中，前 $r$ 个坐标可能非零，但通过基的选取，左下角块为零。
步骤 5/7
目标：计算特征多项式
$A$ 的特征多项式为
$$ f(\lambda) = |\lambda I - A| = |\lambda I - T^{-1}AT| = \left| \begin{pmatrix} (\lambda - \lambda_0)I_r & -B \\ 0 & \lambda I_{n-r} - C \end{pmatrix} \right| = (\lambda - \lambda_0)^r |\lambda I_{n-r} - C|. $$
公式：分块矩阵的行列式公式：$\det\begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix} = \det X \cdot \det Z$
提示：注意行列式计算中，左下角为零矩阵，因此行列式等于对角块行列式的乘积。
步骤 6/7
目标：比较代数重数与几何重数
由特征多项式表达式可知，$\lambda_0$ 作为 $f(\lambda)$ 的根的重数至少为 $r$，即 $m \geq r$，所以 $r \leq m$。
提示：代数重数 $m$ 是特征多项式根的重数，几何重数 $r$ 是特征子空间维数，这里 $m \geq r$ 是结论。
步骤 7/7
目标：得出结论
故对应于特征值 $\lambda_0$，$A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。
提示：注意：几何重数不超过代数重数，但反之不一定成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。