哈尔滨工业大学 2012年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, ~ B \in P^{n \times m}$ 。证明：除零特征值外，$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$的特征值相同，重数也相同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明非零特征值相同（第一部分）
设 $\lambda$ 是 $AB$ 的非零特征值，则存在非零向量 $\alpha \in P^m$ 使得 $AB\alpha = \lambda \alpha$。两边左乘 $B$ 得 $BA(B\alpha) = \lambda (B\alpha)$。由于 $\lambda \neq 0$，且 $\alpha \neq 0$，若 $B\alpha = 0$，则 $AB\alpha = 0$，与 $\lambda \neq 0$ 矛盾，故 $B\alpha \neq 0$。因此 $\lambda$ 是 $BA$ 的特征值，且对应的特征向量为 $B\alpha$。
公式：AB\alpha = \lambda \alpha \Rightarrow BA(B\alpha) = \lambda (B\alpha)
提示：注意 $B\alpha$ 可能为零向量，需利用 $\lambda \neq 0$ 排除这种情况。
步骤 2/7
目标：证明非零特征值相同（第二部分）
反之，若 $\mu$ 是 $BA$ 的非零特征值，同理可得 $\mu$ 也是 $AB$ 的特征值。所以 $AB$ 与 $BA$ 的非零特征值集合相同。
提示：对称性论证，注意角色互换。
步骤 3/7
目标：引入分块矩阵恒等式
考虑多项式矩阵 $\lambda I_m - AB$ 和 $\lambda I_n - BA$。对于 $\lambda \neq 0$，构造分块矩阵恒等式：
\[
\begin{pmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ 0 & I_n - \frac{1}{\lambda} BA \end{pmatrix}
\]
公式：\begin{pmatrix} I_m & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ 0 & I_n - \frac{1}{\lambda} BA \end{pmatrix}
提示：注意分块矩阵乘法规则，确保等式成立。
步骤 4/7
目标：构造另一个恒等式
同时有：
\[
\begin{pmatrix} I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \lambda I_m - AB & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
\]
公式：\begin{pmatrix} I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} \lambda I_m - AB & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘法，左上角为 $\lambda I_m - AB$。
步骤 5/7
目标：合并恒等式得到关系式
结合两式可得：
\[
\begin{pmatrix} \lambda I_m - AB & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ 0 & I_n - \frac{1}{\lambda} BA \end{pmatrix}
\]
公式：\begin{pmatrix} \lambda I_m - AB & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} I_m & -A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ B & I_n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \lambda I_m & A \\ 0 & I_n - \frac{1}{\lambda} BA \end{pmatrix}
提示：注意矩阵乘积的顺序。
步骤 6/7
目标：取行列式得到特征多项式关系
两边取行列式，注意到左边矩阵的行列式为 $\det(\lambda I_m - AB) \cdot \det(I_n) = \det(\lambda I_m - AB)$，右边三个矩阵的行列式分别为 $1$、$1$ 和 $\det(\lambda I_m) \cdot \det(I_n - \frac{1}{\lambda} BA) = \lambda^m \det(I_n - \frac{1}{\lambda} BA)$。因此
\[
\det(\lambda I_m - AB) = \lambda^m \det\left(I_n - \frac{1}{\lambda} BA\right) = \lambda^{m-n} \det(\lambda I_n - BA)
\]
公式：\det(\lambda I_m - AB) = \lambda^{m-n} \det(\lambda I_n - BA)
提示：注意 $\det(\lambda I_n - BA) = \lambda^n \det(I_n - \frac{1}{\lambda} BA)$，代入即得。
步骤 7/7
目标：结论
由 $\det(\lambda I_m - AB) = \lambda^{m-n} \det(\lambda I_n - BA)$ 对任意 $\lambda \neq 0$ 成立，可知 $AB$ 和 $BA$ 的特征多项式在非零部分相差因子 $\lambda^{m-n}$，故非零特征值及其重数相同。
提示：注意 $m$ 和 $n$ 可能不等，零特征值的重数可能不同。
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