哈尔滨工业大学 2013年高等代数第1题

考虑多项式 $g(x)=x^p+px+1$，其中 $p$ 是素数且 $p>n$。艾森斯坦判别法要求存在素数 $q$ 使得：首项系数不被 $q$ 整除，其他系数都被 $q$ 整除，且常数项不被 $q^2$ 整除。这里首项系数为1，其他系数为 $p$ 和 $1$。若取 $q=p$，则 $p$ 被 $p$ 整除，但常数项 $1$ 不被 $p$ 整除，因此不能直接应用。

令 $x=y-1$，则 $g(y-1)=(y-1)^p+p(y-1)+1$。利用二项式定理展开 $(y-1)^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} y^k (-1)^{p-k}$。由于 $p$ 是素数，对于 $1\le k\le p-1$，二项式系数 $\binom{p}{k}$ 被 $p$ 整除。计算常数项：$(-1)^p + p(-1) + 1 = -1 - p + 1 = -p$。一次项系数：$\binom{p}{p-1}(-1)^{1} + p = -p + p = 0$？实际上，$(y-1)^p$ 中 $y$ 的系数为 $\binom{p}{p-1}(-1)^{p-1} = p \cdot (-1)^{p-1}$，由于 $p$ 是奇素数，$(-1)^{p-1}=1$，所以系数为 $p$。加上 $p(y-1)$ 中的 $p y$，总的一次项系数为 $p + p = 2p$。因此 $g(y-1)=y^p + a_{p-1}y^{p-1}+\cdots + a_1 y - p$，其中 $a_1=2p$，且所有 $a_i$（$i=1,\dots,p-1$）都被 $p$ 整除，常数项 $-p$ 被 $p$ 整除但不被 $p^2$ 整除。

对于多项式 $h(y)=g(y-1)=y^p + a_{p-1}y^{p-1}+\cdots + a_1 y - p$，取素数 $p$，则：首项系数1不被 $p$ 整除；其他系数 $a_{p-1},\dots,a_1$ 均被 $p$ 整除；常数项 $-p$ 被 $p$ 整除，但不被 $p^2$ 整除（因为 $p$ 是素数，$p^2$ 不整除 $p$）。由艾森斯坦判别法，$h(y)$ 在有理数域上不可约。由于变量替换 $x=y-1$ 是可逆的线性变换，因此 $g(x)$ 也在有理数域上不可约。

设 $d(x) = (f(x)+g(x), g(x))$。则 $d(x)$ 整除 $g(x)$ 且整除 $f(x)+g(x)$。因此 $d(x)$ 也整除它们的线性组合：$(f(x)+g(x)) - g(x) = f(x)$。所以 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的公因式。

由于 $g(x)$ 在有理数域上不可约，其非常数因式只有 $g(x)$ 本身（或常数倍）。因此 $d(x)$ 要么是常数，要么是 $c g(x)$（$c$ 为非零有理数）。若 $d(x)=c g(x)$，则 $g(x)$ 整除 $f(x)$。但 $f(x)$ 的次数为 $n$，而 $g(x)$ 的次数为 $p>n$，除非 $f(x)=0$，否则 $g(x)$ 不能整除 $f(x)$。题目中 $f(x)$ 是 $n$ 次多项式，非零，所以 $g(x)$ 不整除 $f(x)$。因此 $d(x)$ 只能是常数多项式。