📝 哈尔滨工业大学 2013年高等代数真题

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n(n>2)$ 次有理系数多项式，$p$ 是大于 $n$ 的素数，$\displaystyle g(x)=x^{p}+p x+1$ 。
（1）证明 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域不可约；
（2）求 $\displaystyle (f(x)+g(x), g(x))$ 。

2．设 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ 是一个整系数多项式，若有理数 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，其中整数 $\displaystyle p, q$ 互素，证明：存在整系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)=(q x-p) g(x)$ 。

3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1-\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda-1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \lambda\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}\lambda+1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)$ 。试讨论，$\displaystyle \lambda$ 为何值时 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，在 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示时，求出表达式。

4．设 $\displaystyle W_{1}$ 和 $\displaystyle W_{2}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上向量空间 $V$ 的有限维子空间，证明：

$$
\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)
$$

5．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right) \in C^{2 \times 2}$ 。问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时 $\displaystyle A, B$ 相似？ $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时在复数域 $C$ 上合同。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$
（1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵；
（2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。

7．试求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 7 & 9 & 3\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子及 Jordan 标准形。

8．设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶正定阵，证明 $\displaystyle A B$ 的特征值均为正数。

9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明：
（1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间；
（2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。

10．设 $R$ 是实数域，$\displaystyle A \in R^{n \times n}, B \in R^{m \times m}, C \in R^{m \times n}$ ，其中 $\displaystyle A, B$ 正定，$m$ 是偶数。证明： $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & C^{T} \\ C & -B\end{array}\right|>0$ 。