哈尔滨工业大学 2013年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $R$ 是实数域，$\displaystyle A \in R^{n \times n}, B \in R^{m \times m}, C \in R^{m \times n}$ ，其中 $\displaystyle A, B$ 正定，$m$ 是偶数。证明： $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & C^{T} \\ C & -B\end{array}\right|>0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入Schur补公式
对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & C^T \\ C & -B \end{pmatrix}$，其中 $A$ 可逆，其行列式等于 $|A| \cdot | -B - C A^{-1} C^T |$。这是因为 Schur 补公式：$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - C A^{-1} B|$。
公式：\begin{vmatrix} A & C^T \\ C & -B \end{vmatrix} = |A| \cdot | -B - C A^{-1} C^T |
提示：注意公式中 $D$ 的位置对应 $-B$，$B$ 对应 $C^T$，$C$ 对应 $C$。
步骤 2/5
目标：分析 $|A|$ 的正负性
由于 $A$ 是正定矩阵，其所有特征值大于0，因此行列式 $|A| > 0$。
提示：正定矩阵的行列式必为正数。
步骤 3/5
目标：分析矩阵 $-B - C A^{-1} C^T$ 的正定性
因为 $B$ 正定，所以 $-B$ 负定。$C A^{-1} C^T$ 是半正定矩阵（因为 $A^{-1}$ 正定，$C A^{-1} C^T$ 是半正定二次型的矩阵）。负定矩阵减去半正定矩阵仍为负定矩阵，故 $-B - C A^{-1} C^T$ 是负定矩阵。
提示：注意：负定矩阵减去半正定矩阵仍负定，但需要验证对称性。
步骤 4/5
目标：计算负定矩阵的行列式符号
负定矩阵的所有特征值均为负数，且 $m$ 阶负定矩阵的行列式等于 $(-1)^m$ 乘以特征值的乘积。由于 $m$ 是偶数，$(-1)^m = 1$，因此行列式 $| -B - C A^{-1} C^T | > 0$。
公式：| -B - C A^{-1} C^T | = (-1)^m \prod \lambda_i > 0
提示：注意 $m$ 为偶数的条件，若 $m$ 为奇数则行列式为负。
步骤 5/5
目标：综合得到原行列式大于0
由 Schur 补公式，原行列式等于 $|A| \cdot | -B - C A^{-1} C^T |$。已知 $|A| > 0$ 且 $| -B - C A^{-1} C^T | > 0$，故乘积大于0，即 $\begin{vmatrix} A & C^T \\ C & -B \end{vmatrix} > 0$。
提示：注意两个正数相乘仍为正数。
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