哈尔滨工业大学 2013年高等代数第7题
📝 题目
7．试求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 7 & 9 & 3\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子及 Jordan 标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A)$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 7 & 9 & 3 \end{pmatrix}$。
$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-1 & -4 & 0 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ -7 & -9 & \lambda-3 \end{pmatrix}$。
按第三列展开：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-3) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & -4 \\ 0 & \lambda-2 \end{pmatrix} = (\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda-2)$。
因此特征多项式为 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$。
公式：$\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$
提示：注意按第三列展开时，由于第三列前两个元素为0，只需计算一个2阶子式。
步骤 2/7
目标：计算1阶行列式因子
1阶行列式因子 $D_1(\lambda)$ 是 $\lambda I - A$ 的所有1阶子式的最大公因子。1阶子式即矩阵的所有元素：$\lambda-1, \lambda-2, \lambda-3, -4, 0, -7, -9$。这些多项式的最大公因子为1（因为存在常数项 $-4$ 等），故 $D_1(\lambda)=1$。
提示：注意常数多项式也是多项式，最大公因子要考虑常数因子，但这里常数项互质，所以公因子为1。
步骤 3/7
目标：计算2阶行列式因子
2阶行列式因子 $D_2(\lambda)$ 是所有2阶子式的最大公因子。列出所有非零2阶子式：
- 取第1、2行，第1、2列：$\begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 \\ 0 & \lambda-2 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-2)$
- 第1、3行，第1、2列：$\begin{vmatrix} \lambda-1 & -4 \\ -7 & -9 \end{vmatrix} = -9(\lambda-1) - 28 = -9\lambda - 19$
- 第1、3行，第1、3列：$\begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 \\ -7 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-1)(\lambda-3)$
- 第1、3行，第2、3列：$\begin{vmatrix} -4 & 0 \\ -9 & \lambda-3 \end{vmatrix} = -4(\lambda-3)$
- 第2、3行，第1、2列：$\begin{vmatrix} 0 & \lambda-2 \\ -7 & -9 \end{vmatrix} = 7(\lambda-2)$
- 第2、3行，第2、3列：$\begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 \\ -9 & \lambda-3 \end{vmatrix} = (\lambda-2)(\lambda-3)$
这些多项式的最大公因子为1（例如 $-4(\lambda-3)$ 和 $7(\lambda-2)$ 的公因子为1，因为 $\lambda-2$ 与 $\lambda-3$ 互质，且系数互质），故 $D_2(\lambda)=1$。
提示：计算2阶子式时，注意不要遗漏非零子式，并正确计算行列式。
步骤 4/7
目标：计算3阶行列式因子
3阶行列式因子 $D_3(\lambda)$ 即 $\det(\lambda I - A)$，已求得为 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$。
公式：$D_3(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$
步骤 5/7
目标：求不变因子
不变因子 $d_i(\lambda) = D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$，其中 $D_0(\lambda)=1$。
$d_1(\lambda) = D_1(\lambda) = 1$
$d_2(\lambda) = D_2(\lambda)/D_1(\lambda) = 1/1 = 1$
$d_3(\lambda) = D_3(\lambda)/D_2(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)/1 = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$
因此不变因子为 $1, 1, (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$。
公式：$d_i(\lambda) = D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$
提示：注意不变因子是首一多项式，且满足 $d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$。
步骤 6/7
目标：求初等因子
将不变因子分解为一次因式的幂。由于 $d_3(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)$ 已经是一次因式的乘积，且每个一次因式的指数为1，故初等因子为 $\lambda-1, \lambda-2, \lambda-3$。
提示：初等因子是复数域上的分解，这里特征值互异，所以每个一次因子对应一个初等因子。
步骤 7/7
目标：求Jordan标准形
每个初等因子 $\lambda - \lambda_i$ 对应一个1阶Jordan块 $J_1(\lambda_i)$。因此Jordan标准形为对角矩阵：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
提示：由于特征值互异，Jordan标准形就是对角矩阵。
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