哈尔滨工业大学 2013年高等代数第9题
📝 题目
9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明：
（1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间；
（2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设维数并取基
设 $\dim W = k$，其中 $0 < k < n$。取 $W$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k$，将其扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_k, \beta_1, \dots, \beta_{n-k}$。则 $U = \operatorname{span}\{\beta_1, \dots, \beta_{n-k}\}$ 是 $W$ 的一个余子空间，即 $V = W \oplus U$。
提示：注意基的扩充是可行的，因为 $W$ 是 $V$ 的子空间。
步骤 2/6
目标：构造无穷多个余子空间
对于任意非零实数 $t$，考虑向量 $\gamma_t = \beta_1 + t\alpha_1$。令 $U_t = \operatorname{span}\{\gamma_t, \beta_2, \dots, \beta_{n-k}\}$。由于 $\gamma_t, \beta_2, \dots, \beta_{n-k}$ 线性无关，且 $\dim U_t = n-k$。
提示：线性无关性：因为 $\beta_1, \dots, \beta_{n-k}$ 线性无关，且 $\gamma_t$ 添加了 $\alpha_1$ 分量，所以整体线性无关。
步骤 3/6
目标：验证直和 $V = W \oplus U_t$
首先证明 $W \cap U_t = \{0\}$：设 $w \in W \cap U_t$，则 $w = a_1\alpha_1 + \cdots + a_k\alpha_k = c_1\gamma_t + c_2\beta_2 + \cdots + c_{n-k}\beta_{n-k} = c_1\beta_1 + c_1 t\alpha_1 + c_2\beta_2 + \cdots + c_{n-k}\beta_{n-k}$。比较基的系数：由 $\alpha_1$ 系数得 $a_1 = c_1 t$，由 $\alpha_2,\dots,\alpha_k$ 系数得 $a_2 = \cdots = a_k = 0$，由 $\beta_1,\dots,\beta_{n-k}$ 系数得 $c_1 = c_2 = \cdots = c_{n-k} = 0$，从而 $w=0$。其次，$\dim W + \dim U_t = k + (n-k) = n$，故 $V = W \oplus U_t$。
提示：注意比较系数时，基 $\alpha_1,\dots,\alpha_k,\beta_1,\dots,\beta_{n-k}$ 是线性无关的，因此系数唯一。
步骤 4/6
目标：说明无穷多个余子空间
由于 $t$ 可取无穷多个不同的非零实数，且不同的 $t$ 给出不同的 $U_t$（因为 $\gamma_t$ 方向不同），因此 $W$ 有无穷多个余子空间。
提示：注意 $t$ 不能为0，否则 $U_t$ 与 $U$ 相同。
步骤 5/6
目标：定义正交补并证明唯一性
设 $W^\perp = \{v \in V \mid \langle v, w \rangle = 0, \forall w \in W\}$。由定义，$W^\perp$ 是 $V$ 的子空间。对于欧氏空间，有 $V = W \oplus W^\perp$，且 $\dim W^\perp = n - k$。
提示：正交补的定义中要求对所有 $w \in W$ 内积为零。
步骤 6/6
目标：证明正交补的唯一性
假设存在另一个子空间 $U$ 满足 $V = W \oplus U$ 且 $U \perp W$，即 $U \subseteq W^\perp$。由于 $\dim U = n-k = \dim W^\perp$，故 $U = W^\perp$。因此正交补是唯一的。
提示：注意 $U \subseteq W^\perp$ 是因为 $U$ 与 $W$ 正交，而维数相等推出相等。
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