哈尔滨工业大学 2013年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶正定阵，证明 $\displaystyle A B$ 的特征值均为正数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定矩阵的分解性质
由于 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，根据正定矩阵的性质，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P^T P$。这是正定矩阵的Cholesky分解。
公式：A = P^T P
提示：注意 $P$ 是可逆矩阵，但不一定是正交矩阵。
步骤 2/5
目标：将 $AB$ 表示为相似变换形式
将 $A = P^T P$ 代入 $AB$，得到 $AB = P^T P B$。考虑矩阵 $P B P^T$，我们注意到 $P^T P B$ 与 $P B P^T$ 相似，因为 $P^T P B = P^T (P B P^T) (P^T)^{-1}$。
公式：P^T P B = P^T (P B P^T) (P^T)^{-1}
提示：相似变换的中间矩阵是 $P B P^T$，注意变换矩阵是 $P^T$ 的逆。
步骤 3/5
目标：利用相似矩阵特征值相同
由于 $AB$ 与 $P B P^T$ 相似，它们具有相同的特征值。因此，只需证明 $P B P^T$ 的特征值全为正数。
提示：相似矩阵的特征值相同，但特征向量不同。
步骤 4/5
目标：证明 $P B P^T$ 是正定矩阵
对于任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，考虑二次型 $x^T (P B P^T) x$。由于 $P^T x$ 也是非零向量（因为 $P$ 可逆），且 $B$ 正定，所以 $(P^T x)^T B (P^T x) > 0$。因此 $x^T (P B P^T) x > 0$，即 $P B P^T$ 是正定矩阵。
公式：x^T (P B P^T) x = (P^T x)^T B (P^T x) > 0
提示：注意 $P^T x$ 非零是因为 $P$ 可逆，从而 $P^T$ 可逆。
步骤 5/5
目标：正定矩阵的特征值全为正数
正定矩阵的所有特征值都是正数。因此，$P B P^T$ 的特征值全为正数，从而 $AB$ 的特征值也全为正数。
提示：正定矩阵的特征值大于0是充要条件。
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