哈尔滨工业大学 2014年高等代数第3题
📝 题目
3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解解的结构
非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 的解集 $S$ 可以表示为 $S = \{ X_0 + \eta \mid \eta \in N(A) \}$，其中 $X_0$ 是一个特解，$N(A)$ 是齐次方程组 $AX = 0$ 的解空间。这是因为非齐次方程的通解等于一个特解加上齐次方程的通解。
公式：$S = X_0 + N(A)$
提示：注意特解 $X_0$ 必须满足 $AX_0 = \beta$，且 $\beta \neq 0$（否则为齐次方程组）。
步骤 2/6
目标：确定齐次解空间的维数
齐次方程组 $AX = 0$ 的解空间 $N(A)$ 的维数等于 $n - \operatorname{rank}(A)$。已知 $\operatorname{rank}(A) = r$，所以 $\dim(N(A)) = n - r$。
公式：$\dim(N(A)) = n - r$
提示：秩 $r$ 是系数矩阵 $A$ 的秩，与增广矩阵 $(A, \beta)$ 的秩相同。
步骤 3/6
目标：构造解集中的线性无关向量组
设 $\eta_1, \dots, \eta_{n-r}$ 是 $N(A)$ 的一组基，$X_0$ 是一个特解。考虑向量组 $\mathcal{V} = \{ X_0, X_0+\eta_1, \dots, X_0+\eta_{n-r} \}$，共 $n-r+1$ 个向量。这些向量都属于解集 $S$。
提示：注意 $X_0$ 本身是解，$X_0+\eta_i$ 也是解，因为 $A(X_0+\eta_i) = \beta + 0 = \beta$。
步骤 4/6
目标：证明向量组线性无关
假设存在系数 $c_0, c_1, \dots, c_{n-r}$ 使得 $c_0 X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i (X_0+\eta_i) = 0$。整理得 $(c_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i) X_0 + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \eta_i = 0$。左乘矩阵 $A$，利用 $AX_0 = \beta$ 和 $A\eta_i = 0$，得到 $(c_0 + \sum c_i) \beta = 0$。由于 $\beta \neq 0$（否则方程组为齐次，秩为 $n-r$），故 $c_0 + \sum c_i = 0$。代入原式得 $\sum c_i \eta_i = 0$。因为 $\eta_1, \dots, \eta_{n-r}$ 线性无关，所以 $c_i = 0$ 对所有 $i=1,\dots,n-r$ 成立，进而 $c_0 = 0$。因此向量组线性无关。
公式：$(c_0 + \sum c_i) \beta = 0 \Rightarrow c_0 + \sum c_i = 0$
提示：关键步骤：左乘 $A$ 消去 $\eta_i$ 项，利用 $\beta \neq 0$ 得到系数关系。注意 $\beta$ 可能为零向量，但题目条件隐含 $\beta \neq 0$，否则秩为 $n-r$。
步骤 5/6
目标：证明向量组是极大线性无关组
任取 $X \in S$，则 $X = X_0 + \eta$，其中 $\eta \in N(A)$。将 $\eta$ 用基 $\eta_1, \dots, \eta_{n-r}$ 线性表示：$\eta = \sum_{i=1}^{n-r} k_i \eta_i$。于是 $X = X_0 + \sum k_i \eta_i = (1 - \sum k_i) X_0 + \sum k_i (X_0+\eta_i)$。这说明 $X$ 可由向量组 $\mathcal{V}$ 线性表示。因此 $\mathcal{V}$ 是解集 $S$ 的一个极大线性无关组，其秩为 $n-r+1$。
公式：$X = (1 - \sum k_i) X_0 + \sum k_i (X_0+\eta_i)$
提示：注意表示系数不一定唯一，但存在性即可。
步骤 6/6
目标：总结结论
非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 的解集合的秩等于 $n - r + 1$。
公式：$\operatorname{rank}(S) = n - r + 1$
提示：该结论成立的前提是 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A, \beta) = r$，即方程组有解。
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