哈尔滨工业大学 2014年高等代数第4题
📝 题目
4．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 级方阵，若 $\displaystyle A B=A-B$ ，证明：$\displaystyle E_{n}+A$ 可逆，并且 $\displaystyle B A=A B$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变形已知等式
由 $AB = A - B$ 移项得 $AB + B = A$，即 $(A + E_n)B = A$。
公式：$(A + E_n)B = A$
提示：注意移项时符号，$AB + B = A$ 可提取右公因子 $B$ 得 $(A + E_n)B = A$。
步骤 2/6
目标：构造可逆性证明
考虑 $(A + E_n)(E_n - B) = A + E_n - (A + E_n)B = A + E_n - A = E_n$。因此 $A + E_n$ 可逆，且 $(A + E_n)^{-1} = E_n - B$。
公式：$(A + E_n)(E_n - B) = E_n$
提示：构造 $(E_n - B)$ 是关键，注意验证乘积为单位阵。
步骤 3/6
目标：得到逆矩阵表达式
由 $(A + E_n)(E_n - B) = E_n$ 知 $A + E_n$ 可逆，且 $(A + E_n)^{-1} = E_n - B$。
公式：$(A + E_n)^{-1} = E_n - B$
提示：逆矩阵唯一，因此 $(E_n - B)$ 就是逆矩阵。
步骤 4/6
目标：推导另一关系式
由 $AB = A - B$ 得 $A = AB + B = B(A + E_n)$，即 $A = B(A + E_n)$。
公式：$A = B(A + E_n)$
提示：注意 $AB + B = B(A + E_n)$ 是右乘公因子 $B$。
步骤 5/6
目标：利用逆矩阵交换性
因为 $(A + E_n)^{-1} = E_n - B$，所以 $(E_n - B)(A + E_n) = E_n$ 也成立。展开得 $A + E_n - BA - B = E_n$，即 $A - BA - B = 0$，所以 $BA = A - B$。
公式：$(E_n - B)(A + E_n) = E_n$
提示：逆矩阵同时满足左乘和右乘为单位阵，注意展开时不要遗漏项。
步骤 6/6
目标：证明交换性
由 $BA = A - B$ 和已知 $AB = A - B$，得 $BA = AB$。
公式：$BA = AB$
提示：比较两个等式即可得出结论。
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