哈尔滨工业大学 2014年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二次型表示为矩阵形式
设 $g_i = \sum_{k=1}^n a_{ik}x_k$, $h_j = \sum_{k=1}^n b_{jk}x_k$, 其中 $i=1,\dots,p$, $j=1,\dots,q$. 则二次型 $f = \sum_{i=1}^p g_i^2 - \sum_{j=1}^q h_j^2$ 可表示为 $f = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$, 其中 $\mathbf{x} = (x_1,\dots,x_n)^T$, $A = G^T G - H^T H$, $G$ 为 $p \times n$ 矩阵, $H$ 为 $q \times n$ 矩阵, 其行向量分别为 $g_i$ 和 $h_j$ 的系数.
公式：$f = \mathbf{x}^T (G^T G - H^T H) \mathbf{x}$
提示：注意 $G^T G$ 和 $H^T H$ 都是对称半正定矩阵.
步骤 2/5
目标：分析二次型的值在子空间上的符号
对任意 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, 有 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \|G\mathbf{x}\|^2 - \|H\mathbf{x}\|^2$. 考虑子空间 $V = \ker H = \{\mathbf{x} \mid H\mathbf{x}=0\}$. 在 $V$ 上, $\|H\mathbf{x}\|^2 = 0$, 因此 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \|G\mathbf{x}\|^2 \ge 0$, 即 $A$ 在 $V$ 上半正定.
公式：$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \|G\mathbf{x}\|^2 - \|H\mathbf{x}\|^2$
提示：注意 $V$ 是 $H$ 的零空间, 其维数至少为 $n - \operatorname{rank}(H)$.
步骤 3/5
目标：确定负特征值对应的特征向量所在子空间
由于 $A$ 在 $V$ 上半正定, 所以 $A$ 的负特征值对应的特征向量不可能属于 $V$, 否则会导致 $\mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0$ 与半正定矛盾. 因此这些特征向量必属于 $V$ 的正交补 $V^\perp$.
提示：注意 $V^\perp$ 是 $H$ 的行空间, 其维数等于 $\operatorname{rank}(H)$.
步骤 4/5
目标：估计负特征值的个数
负特征值的个数（即负惯性指数）不超过 $V^\perp$ 的维数. 而 $\dim V^\perp = \operatorname{rank}(H) \le q$, 因为 $H$ 是 $q \times n$ 矩阵, 其秩不超过行数 $q$. 因此负惯性指数 $\leq q$.
公式：$\dim V^\perp = \operatorname{rank}(H) \le q$
提示：注意 $\operatorname{rank}(H) \le \min(q, n)$, 但这里 $q$ 是行数, 所以不超过 $q$.
步骤 5/5
目标：总结结论
因此, 二次型 $f$ 的负惯性指数不超过 $q$, 即 $f$ 的负平方项个数最多为 $q$.
提示：结论与 $p$ 无关, 只与 $h_j$ 的个数 $q$ 有关.
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