哈尔滨工业大学 2014年高等代数第8题

已知矩阵 $A$ 为友矩阵（Frobenius companion matrix）的转置？注意题目中最后一行元素为 $-a_n, -a_{n-1}, \dots, -a_2, a_n$，但通常标准形式最后一项为 $-a_1$。这里按标准形式处理，即 $A$ 的最后一行是 $(-a_n, -a_{n-1}, \dots, -a_1)$。则 $$ \lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & -1 \\ a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_2 & \lambda + a_1 \end{pmatrix}. $$

对矩阵 $\lambda I - A$ 进行初等行变换和列变换。首先，将第一行乘以 $\lambda$ 加到第二行？更系统的方法是：从第一列开始，利用第一列的元素 $\lambda$ 消去第一行其他元素。具体地，将第一列乘以 $\lambda$ 加到第二列，得到新的第二列；然后交换行和列，逐步将矩阵化为对角形。标准步骤： 1. 将第1列乘以 $\lambda$ 加到第2列，使第1行第2列变为0； 2. 将第2列乘以 $\lambda$ 加到第3列，依此类推，直到第 $n-1$ 列乘以 $\lambda$ 加到第 $n$ 列； 3. 此时矩阵变为： $$ \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & -1 \\ a_n & a_{n-1}+a_n\lambda & a_{n-2}+a_{n-1}\lambda+a_n\lambda^2 & \cdots & a_2+\cdots & \lambda + a_1 + \cdots \end{pmatrix} $$ 但更简洁的方法是直接利用已知结论：友矩阵的 $\lambda I - A$ 的 Smith 标准形为 $\mathrm{diag}(1,1,\dots,1,f(\lambda))$，其中 $f(\lambda)=\lambda^n + a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n$。

行列式因子 $D_k(\lambda)$ 是 $\lambda I - A$ 的所有 $k$ 阶子式的最大公因子。由于 $\lambda I - A$ 是 $n$ 阶矩阵，且其前 $n-1$ 阶子式容易看出有公因子1，例如左上角的 $n-1$ 阶子式是上三角矩阵，对角线元素为 $\lambda$ 和 $-1$，其行列式为 $\lambda^{n-1}$ 或 $\pm 1$？实际上，取前 $n-1$ 行和前 $n-1$ 列构成的子式是上三角矩阵，对角线元素为 $\lambda, \lambda, \dots, \lambda$（共 $n-2$ 个）和最后一个元素为 $-1$？仔细看：前 $n-1$ 行和前 $n-1$ 列的子矩阵是 $$ \begin{pmatrix} \lambda & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{pmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} $$ 其行列式为 $\lambda^{n-1}$。但 $\lambda^{n-1}$ 与 $\lambda$ 的多项式可能有公因子？实际上，$D_{n-1}(\lambda)$ 是 $n-1$ 阶子式的最大公因子，由于存在子式行列式为1（例如取最后 $n-1$ 行和最后 $n-1$ 列？需要验证），所以 $D_{n-1}(\lambda)=1$。因此 $D_1(\lambda)=1, D_2(\lambda)=1, \dots, D_{n-1}(\lambda)=1$，而 $D_n(\lambda)=\det(\lambda I - A)=f(\lambda)$。

不变因子 $d_k(\lambda)$ 与行列式因子 $D_k(\lambda)$ 的关系为：$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)$，$d_k(\lambda)=\frac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)}$，$k=2,\dots,n$。由于 $D_1(\lambda)=1$，$D_2(\lambda)=1$，...，$D_{n-1}(\lambda)=1$，$D_n(\lambda)=f(\lambda)$，所以 $$ d_1(\lambda)=1,\ d_2(\lambda)=1,\ \dots,\ d_{n-1}(\lambda)=1,\ d_n(\lambda)=f(\lambda). $$

因此，$\lambda I - A$ 的不变因子为 $n-1$ 个 $1$ 和一个 $f(\lambda)=\lambda^n + a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n$。即 $$ \underbrace{1,1,\dots,1}_{n-1\text{个}}, \lambda^n + a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n. $$