哈尔滨工业大学 2015年高等代数第10题
📝 题目
10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：必要性证明：由正交变换推出内积相等
设存在正交变换 $\sigma$ 使得 $\sigma(\alpha_i) = \beta_i$，则 $\sigma$ 对应的矩阵 $Q$ 满足 $Q^T Q = I$（正交矩阵），且 $B = Q A$。于是 $B^T B = (Q A)^T (Q A) = A^T Q^T Q A = A^T A$。
公式：$B^T B = A^T A$
提示：注意正交变换的矩阵满足 $Q^T Q = I$，且 $B = Q A$ 是矩阵乘法的正确顺序。
步骤 2/6
目标：充分性准备：由内积相等推出向量组内积相同
设 $A^T A = B^T B$。对任意 $x, y \in \mathbb{R}^m$，有 $(Ax)^T (Ay) = x^T A^T A y = x^T B^T B y = (Bx)^T (By)$。取标准基向量 $e_i, e_j$ 得 $\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = \langle \beta_i, \beta_j \rangle$，即向量组 $\{\alpha_i\}$ 与 $\{\beta_i\}$ 有相同的 Gram 矩阵。
公式：$\langle \alpha_i, \alpha_j \rangle = \langle \beta_i, \beta_j \rangle$
提示：注意 $A$ 的列向量是 $\alpha_i$，$Ax$ 是列向量的线性组合。
步骤 3/6
目标：定义子空间上的等距同构
考虑 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 生成的子空间 $V = \operatorname{span}\{\alpha_1, \ldots, \alpha_m\}$，以及 $\beta_1, \ldots, \beta_m$ 生成的子空间 $W = \operatorname{span}\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$。定义线性映射 $\tau: V \to W$ 为 $\tau(\alpha_i) = \beta_i$，并线性扩张。由于内积相等，$\tau$ 保持内积，因而是等距同构。
提示：需要验证 $\tau$ 是良定义的，即若 $\sum c_i \alpha_i = 0$ 则 $\sum c_i \beta_i = 0$，这由内积相等保证。
步骤 4/6
目标：证明子空间维数相等
由 $A^T A = B^T B$ 知 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank}(B^T B)$，而 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank} A$，$\operatorname{rank}(B^T B) = \operatorname{rank} B$，故 $\dim V = \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B = \dim W$。
公式：$\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B$
提示：注意 $\operatorname{rank}(A^T A) = \operatorname{rank} A$ 对实矩阵成立。
步骤 5/6
目标：将等距同构扩张到整个空间
取 $V^\perp$ 的一组标准正交基 $\{u_1, \ldots, u_k\}$ 和 $W^\perp$ 的一组标准正交基 $\{v_1, \ldots, v_k\}$，其中 $k = n - \dim V$。定义 $\sigma(u_i) = v_i$，则 $\sigma$ 在 $V^\perp$ 上也是等距。于是 $\sigma$ 在 $V \oplus V^\perp = \mathbb{R}^n$ 上定义为 $\sigma|_V = \tau$，$\sigma|_{V^\perp}$ 如上，则 $\sigma$ 是正交变换，且满足 $\sigma(\alpha_i) = \beta_i$。
提示：注意 $V^\perp$ 和 $W^\perp$ 维数相等，因为 $\dim V = \dim W$，所以可以建立等距。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在正交变换 $\sigma$ 使得 $\sigma(\alpha_i) = \beta_i$ 当且仅当 $A^T A = B^T B$。
提示：充分性中构造的正交变换依赖于基的选择，但存在性成立。
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