📝 哈尔滨工业大学 2015年高等代数真题

1．$\displaystyle f(x)=x^{n+1}+x^{n}+2(n>0)$ 是否有重根？

2．$\displaystyle f(x)=x^{8}+7 x^{2}+x$ 在有理数域上的标准分解式。

3．$\displaystyle A, B$ 矩阵为复数域上的二阶矩阵，它们的特征多项式都是 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，问 $A$ 与 $B$是否相似？

4．$B$ 为 $n$ 阶实矩阵，证明：存在唯一的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，使得对任意 $n$ 维列向量 $x$ ，恒有 $\displaystyle x^{T} A x=x^{T} B x$ 。

5．$\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \left|I_{n}+A_{1}+A_{2}+A_{3}\right|=1$ ，求 $\displaystyle \left|\left(\begin{array}{lll}A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3}\end{array}\right)+I_{3 n}\right|$ 。

6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。

7．设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量，使得 $\displaystyle A^{n-1} \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right), A^{n} \alpha=0$ ，求 $A$ 的特征值，特征向量，特征子空间。

8．$\displaystyle I_{n}, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 可以表示所有的 $\displaystyle f(A)$ 。

9．方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} \\ x_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 有解，求 $a$ 的值，方程组的通解以及对应的齐次线性方程组的基础解系。

10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。