哈尔滨工业大学 2015年高等代数第6题
📝 题目
6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题与符号
设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间。需要证明存在线性变换 $A \in \mathcal{L}(V)$ 使得 $V_1 = \operatorname{Im} A$ 且 $V_2 = \ker A$（或交换角色）的充要条件是 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$。
提示：注意值域和核的角色可以互换，但维数条件对称，因此只需证明一种情况。
步骤 2/7
目标：必要性证明
假设存在线性变换 $A$ 使得 $V_1 = \operatorname{Im} A$，$V_2 = \ker A$。由维数公式：$\dim \operatorname{Im} A + \dim \ker A = \dim V = n$，代入即得 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$。
公式：维数公式：$\dim \operatorname{Im} A + \dim \ker A = \dim V$
提示：维数公式是线性变换的基本性质，注意值域和核的维数之和等于原空间维数。
步骤 3/7
目标：充分性：设定维数与基
设 $\dim V_2 = r$，则 $\dim V_1 = n - r$。取 $V_2$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_r$，将其扩充为 $V$ 的一组基：$\alpha_1, \dots, \alpha_r, \beta_1, \dots, \beta_s$，其中 $s = n - r$。再取 $V_1$ 的一组基 $\gamma_1, \dots, \gamma_s$。
提示：扩充基时注意 $\beta_j$ 不在 $V_2$ 中，且 $\gamma_j$ 是 $V_1$ 的基，与 $\beta_j$ 无关。
步骤 4/7
目标：定义线性变换
定义线性变换 $A: V \to V$ 在基上的作用为：$A(\alpha_i) = 0$（$i=1,\dots,r$），$A(\beta_j) = \gamma_j$（$j=1,\dots,s$）。然后线性扩张到整个 $V$。
提示：线性变换由基上的作用唯一确定，注意验证线性性。
步骤 5/7
目标：验证核等于 V2
首先，$V_2 = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_r\} \subseteq \ker A$。反之，任取 $x = \sum_{i=1}^r a_i \alpha_i + \sum_{j=1}^s b_j \beta_j \in \ker A$，则 $A(x) = \sum_{j=1}^s b_j \gamma_j = 0$。由于 $\gamma_j$ 线性无关，得所有 $b_j = 0$，故 $x \in V_2$。因此 $\ker A = V_2$。
提示：注意 $\gamma_j$ 线性无关是关键，否则不能推出 $b_j=0$。
步骤 6/7
目标：验证值域等于 V1
由定义，$\operatorname{Im} A = \operatorname{span}\{A(\alpha_i), A(\beta_j)\} = \operatorname{span}\{0, \gamma_j\} = \operatorname{span}\{\gamma_1,\dots,\gamma_s\} = V_1$。
提示：注意 $A(\alpha_i)=0$ 不影响生成集。
步骤 7/7
目标：总结结论
必要性已证，充分性通过构造线性变换完成。因此，存在线性变换 $A$ 使得 $V_1, V_2$ 一个为值域一个为核的充要条件是 $\dim V_1 + \dim V_2 = n$。
提示：构造时注意基的选取，确保 $\gamma_j$ 是 $V_1$ 的基。
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