哈尔滨工业大学 2015年高等代数第5题
📝 题目
5．$\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \left|I_{n}+A_{1}+A_{2}+A_{3}\right|=1$ ，求 $\displaystyle \left|\left(\begin{array}{lll}A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ A_{1} & A_{2} & A_{3}\end{array}\right)+I_{3 n}\right|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题并设矩阵B
设 $B = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix}$，则所求行列式为 $|B + I_{3n}|$。
提示：注意矩阵分块，$B$ 是 $3n \times 3n$ 矩阵，每个块是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：将B分解为两个矩阵的乘积
注意到 $B$ 的每一行块都相同，因此 $B$ 可以写成 $B = \begin{pmatrix} I_n \\ I_n \\ I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix}$。令 $U = \begin{pmatrix} I_n \\ I_n \\ I_n \end{pmatrix}$（$3n \times n$ 矩阵），$V = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix}$（$n \times 3n$ 矩阵），则 $B = UV$。
提示：确保矩阵乘法维度匹配：$U$ 是 $3n \times n$，$V$ 是 $n \times 3n$，乘积是 $3n \times 3n$。
步骤 3/6
目标：应用矩阵行列式恒等式
利用恒等式 $|I_{3n} + UV| = |I_n + VU|$，其中 $U$ 是 $3n \times n$，$V$ 是 $n \times 3n$。注意这里 $I_{3n}$ 和 $I_n$ 是单位矩阵。
公式：$|I_m + UV| = |I_n + VU|$，其中 $U$ 是 $m \times n$，$V$ 是 $n \times m$。
提示：该恒等式成立的前提是 $U$ 和 $V$ 的维度使得乘积有意义，且 $I$ 的阶数相应。
步骤 4/6
目标：计算VU
计算 $VU = \begin{pmatrix} A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_n \\ I_n \\ I_n \end{pmatrix} = A_1 I_n + A_2 I_n + A_3 I_n = A_1 + A_2 + A_3$。
提示：注意矩阵乘法：$V$ 是 $n \times 3n$，$U$ 是 $3n \times n$，乘积是 $n \times n$。
步骤 5/6
目标：代入已知条件
由恒等式得 $|B + I_{3n}| = |I_n + VU| = |I_n + (A_1 + A_2 + A_3)|$。已知 $|I_n + A_1 + A_2 + A_3| = 1$，因此 $|B + I_{3n}| = 1$。
提示：注意已知条件中的矩阵和与 $VU$ 相同，直接代入即可。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
所以所求行列式的值为 $1$。
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