哈尔滨工业大学 2015年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量，使得 $\displaystyle A^{n-1} \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right), A^{n} \alpha=0$ ，求 $A$ 的特征值，特征向量，特征子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A^{n-1}\alpha = (1,1,\ldots,1)^T$ 且 $A^n\alpha = 0$。这意味着 $A^{n-1}\alpha \neq 0$ 而 $A^n\alpha = 0$，所以 $\alpha$ 是 $A$ 的一个循环向量，即向量组 $\alpha, A\alpha, \ldots, A^{n-1}\alpha$ 线性无关。
提示：注意 $A^{n-1}\alpha$ 是非零向量，否则无法推出循环性。
步骤 2/6
目标：证明向量组线性无关
假设存在不全为零的系数 $c_0, c_1, \ldots, c_{n-1}$ 使得 $c_0\alpha + c_1 A\alpha + \cdots + c_{n-1} A^{n-1}\alpha = 0$。用 $A^{n-1}$ 作用，得到 $c_0 A^{n-1}\alpha = 0$，故 $c_0=0$。再依次用 $A^{n-2}, \ldots, A$ 作用，可得所有系数为零，因此向量组线性无关。
提示：注意作用 $A^{n-1}$ 后，$A^{n-1}(A^k\alpha)=A^{n-1+k}\alpha$，当 $k\geq 1$ 时 $n-1+k\geq n$，由 $A^n\alpha=0$ 知这些项为零。
步骤 3/6
目标：确定最小多项式
由于 $\alpha$ 是循环向量，$A$ 的最小多项式等于特征多项式，且次数为 $n$。由 $A^n\alpha=0$ 知 $A^n$ 在 $\alpha$ 上为零，而 $A^{n-1}\alpha\neq0$，所以最小多项式为 $\lambda^n$。
公式：最小多项式 $m(\lambda)=\lambda^n$
提示：循环向量的定义：存在向量 $v$ 使得 $v, Av, \ldots, A^{n-1}v$ 线性无关。
步骤 4/6
目标：推导特征值
最小多项式 $\lambda^n$ 的根全为 $0$，因此 $A$ 的特征值全为 $0$，且代数重数为 $n$。
公式：特征值 $\lambda=0$（$n$ 重）
提示：特征多项式为 $\lambda^n$，但注意 Jordan 标准形是一个 $n$ 阶 Jordan 块。
步骤 5/6
目标：求特征向量
解齐次线性方程组 $(A-0I)x=0$，即 $Ax=0$。由于 $A$ 的秩为 $n-1$（因为 $A^{n-1}\alpha\neq0$ 而 $A^n\alpha=0$ 说明零空间维数为 $1$），所以特征子空间维数为 $1$。由 $A^n\alpha=0$ 得 $A(A^{n-1}\alpha)=0$，故 $A^{n-1}\alpha$ 是特征向量。
公式：$A^{n-1}\alpha = (1,1,\ldots,1)^T$
提示：注意特征向量不能为零向量，所以 $c\neq0$。
步骤 6/6
目标：写出特征子空间
特征子空间 $V_0 = \{ k(1,1,\ldots,1)^T \mid k \in \mathbb{F} \}$，维数为 $1$。
公式：$V_0 = \operatorname{span}\{(1,1,\ldots,1)^T\}$
提示：基向量是 $(1,1,\ldots,1)^T$，注意与题目中 $A^{n-1}\alpha$ 一致。
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