哈尔滨工业大学 2015年高等代数第9题
📝 题目
9．方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} \\ x_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 有解，求 $a$ 的值，方程组的通解以及对应的齐次线性方程组的基础解系。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程组并写出增广矩阵
将方程组写成矩阵形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中 $A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & -1\end{pmatrix}$，$\mathbf{b}=\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ a\end{pmatrix}$。注意题目中 $x_3$ 误写为 $x_1$，应为 $x_3$。构造增广矩阵 $(A\mid\mathbf{b})=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & -2 & -1 & a\end{pmatrix}$。
提示：注意向量中变量顺序，$x_3$ 对应第三列，不要混淆。
步骤 2/6
目标：对增广矩阵进行初等行变换
进行行变换：$R_2-R_1$，$R_3-2R_1$ 得：$\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 & a-2\end{pmatrix}$。再 $R_3-3R_2$ 得：$\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-2\end{pmatrix}$。
提示：行变换要小心系数，特别是 $R_3-2R_1$ 时，注意 $a$ 是常数。
步骤 3/6
目标：根据有解条件确定参数 a
方程组有解当且仅当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。由行阶梯形，第三行对应方程 $0 = a-2$，因此必须有 $a-2=0$，即 $a=2$。
公式：秩条件：$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid\mathbf{b})$
提示：注意最后一行全为零时，系数矩阵和增广矩阵秩相等。
步骤 4/6
目标：代入 a 并化简增广矩阵
当 $a=2$ 时，增广矩阵化为：$\begin{pmatrix}2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。对应方程组：$2x_1+x_2-x_3+x_4=1$，$-x_4=0$。
提示：第二行给出 $x_4=0$，不要遗漏。
步骤 5/6
目标：求解方程组，得到通解
由 $-x_4=0$ 得 $x_4=0$。代入第一式：$2x_1+x_2-x_3=1$。取 $x_2$，$x_3$ 为自由变量，令 $x_2=c_1$，$x_3=c_2$，则 $x_1=\frac{1}{2}(1-c_1+c_2)$。通解为：$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\0\\0\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\\0\end{pmatrix}$，$c_1,c_2\in\mathbb{R}$。
提示：自由变量选择 $x_2,x_3$，注意 $x_1$ 表达式不要写错。
步骤 6/6
目标：求齐次线性方程组的基础解系
对应的齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的通解为 $c_1\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}\\1\\0\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\\0\end{pmatrix}$。取基础解系为整数向量：$\boldsymbol{\xi}_1=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\\0\end{pmatrix}$，$\boldsymbol{\xi}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\2\\0\end{pmatrix}$。注意基础解系不唯一。
提示：基础解系中向量线性无关且个数等于自由变量个数（2个）。
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