哈尔滨工业大学 2015年高等代数第8题
📝 题目
8．$\displaystyle I_{n}, A, A^{2}, \cdots, A^{n-1}$ 可以表示所有的 $\displaystyle f(A)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与已知条件
题目要求证明：对于任意多项式 $f(x)$，$f(A)$ 可以表示为 $I_n, A, A^2, \dots, A^{n-1}$ 的线性组合，其中 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵。
提示：注意 $A$ 是方阵，$I_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
步骤 2/6
目标：引入 Cayley-Hamilton 定理
Cayley-Hamilton 定理指出：矩阵 $A$ 的特征多项式 $\chi_A(x) = \det(xI - A)$ 满足 $\chi_A(A) = 0$。特征多项式是 $n$ 次多项式。
公式：\chi_A(A) = 0
提示：特征多项式是 $n$ 次，且首项系数为 1。
步骤 3/6
目标：多项式除法
对于任意多项式 $f(x)$，用 $\chi_A(x)$ 除 $f(x)$，存在商 $q(x)$ 和余式 $r(x)$，使得 $f(x) = q(x) \chi_A(x) + r(x)$，其中 $\deg r(x) < n$。
公式：f(x) = q(x) \chi_A(x) + r(x)
提示：余式次数严格小于 $n$，这是关键。
步骤 4/6
目标：代入矩阵 $A$
将 $x = A$ 代入上式，得到 $f(A) = q(A) \chi_A(A) + r(A)$。由于 $\chi_A(A) = 0$，所以 $f(A) = r(A)$。
公式：f(A) = r(A)
提示：注意矩阵乘法与多项式代入的相容性。
步骤 5/6
目标：表示余式 $r(A)$
因为 $\deg r(x) < n$，可设 $r(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_{n-1} x^{n-1}$，其中 $a_i$ 是系数。于是 $r(A) = a_0 I_n + a_1 A + \dots + a_{n-1} A^{n-1}$。
公式：r(A) = a_0 I_n + a_1 A + \dots + a_{n-1} A^{n-1}
提示：注意 $x^0$ 对应 $I_n$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$f(A) = a_0 I_n + a_1 A + \dots + a_{n-1} A^{n-1}$，即 $f(A)$ 可表示为 $I_n, A, A^2, \dots, A^{n-1}$ 的线性组合。
提示：该结论对任意多项式 $f(x)$ 成立。
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