哈尔滨工业大学 2015年高等代数第4题
📝 题目
4．$B$ 为 $n$ 阶实矩阵，证明：存在唯一的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，使得对任意 $n$ 维列向量 $x$ ，恒有 $\displaystyle x^{T} A x=x^{T} B x$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将二次型转化为对称形式
对任意 $n$ 维列向量 $x$，考虑二次型 $x^T B x$。由于 $x^T B x$ 是一个标量，其转置等于自身，即 $x^T B x = (x^T B x)^T = x^T B^T x$。因此，$x^T B x = \frac{1}{2}(x^T B x + x^T B^T x) = x^T \left( \frac{B + B^T}{2} \right) x$。
公式：$x^T B x = x^T B^T x$
提示：注意标量的转置等于自身，这是推导的关键。
步骤 2/8
目标：定义对称矩阵 A
令 $A = \frac{B + B^T}{2}$，则 $A$ 是对称矩阵，因为 $A^T = \frac{B^T + B}{2} = A$。且对任意 $x$，有 $x^T A x = x^T B x$。
公式：$A = \frac{B + B^T}{2}$
提示：验证对称性：$A^T = A$。
步骤 3/8
目标：证明存在性
由上述推导，$A$ 即为满足条件的对称矩阵，因此存在性得证。
提示：存在性直接由构造得出。
步骤 4/8
目标：假设另一个对称矩阵 C 也满足条件
假设存在另一个对称矩阵 $C$ 满足 $x^T C x = x^T B x$ 对所有 $x$ 成立。则 $x^T (A - C) x = 0$ 对所有 $x$ 成立。
公式：$x^T (A - C) x = 0$
提示：注意 $A-C$ 也是对称矩阵。
步骤 5/8
目标：利用标准单位向量证明对角元为零
取 $x = e_i$（标准单位向量），则 $e_i^T (A-C) e_i = (A-C)_{ii} = 0$，所以 $A$ 与 $C$ 的对角元相等。
公式：$(A-C)_{ii}=0$
提示：标准单位向量 $e_i$ 只有第 $i$ 个分量为1，其余为0。
步骤 6/8
目标：利用向量和证明非对角元为零
取 $x = e_i + e_j$，则 $(e_i+e_j)^T (A-C) (e_i+e_j) = (A-C)_{ii} + (A-C)_{jj} + (A-C)_{ij} + (A-C)_{ji} = 0$。由于 $(A-C)_{ii}=0$ 且 $(A-C)_{jj}=0$，且 $A-C$ 对称，故 $(A-C)_{ij} + (A-C)_{ji} = 2(A-C)_{ij} = 0$，因此 $(A-C)_{ij}=0$。
公式：$2(A-C)_{ij}=0$
提示：注意对称性：$(A-C)_{ij} = (A-C)_{ji}$。
步骤 7/8
目标：推出 A = C，唯一性得证
由以上两步，$A-C$ 的所有元素均为零，故 $A=C$。因此满足条件的对称矩阵唯一。
提示：唯一性证明的关键是利用二次型恒为零推出矩阵为零。
步骤 8/8
目标：总结结论
存在唯一的 $n$ 阶实对称矩阵 $A = \frac{B + B^T}{2}$ 满足对任意 $n$ 维列向量 $x$，恒有 $x^T A x = x^T B x$。
公式：$A = \frac{B + B^T}{2}$
提示：注意 $A$ 是 $B$ 的对称部分。
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