哈尔滨工业大学 2015年高等代数第2题
📝 题目
2．$\displaystyle f(x)=x^{8}+7 x^{2}+x$ 在有理数域上的标准分解式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：提取公因式
观察多项式 $f(x)=x^8+7x^2+x$，各项均含有因子 $x$，因此提取 $x$ 得：
$$f(x)=x(x^7+7x+1)$$
提示：注意提取公因式时，常数项 $x$ 的指数为1，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：判断有理根
考虑 $g(x)=x^7+7x+1$。根据有理根定理，可能的有理根为 $\pm1$。计算：
$$g(1)=1+7+1=9\neq0$$
$$g(-1)=-1-7+1=-7\neq0$$
故 $g(x)$ 无有理根，因此不能分解出一次因式。
公式：有理根定理：若整系数多项式 $a_nx^n+\cdots+a_0$ 有有理根 $\frac{p}{q}$（既约），则 $p|a_0$，$q|a_n$。
提示：注意检查所有可能的有理根，包括正负。
步骤 3/6
目标：尝试Eisenstein判别法
对 $g(x)$ 直接应用Eisenstein判别法不成功。尝试变量替换 $x=y-1$：
$$g(y-1)=(y-1)^7+7(y-1)+1$$
展开 $(y-1)^7$ 得：
$$y^7-7y^6+21y^5-35y^4+35y^3-21y^2+7y-1$$
加上 $7y-7+1$ 得：
$$y^7-7y^6+21y^5-35y^4+35y^3-21y^2+14y-7$$
系数为 $1,-7,21,-35,35,-21,14,-7$。
公式：Eisenstein判别法：若存在素数 $p$ 使得 $p$ 整除所有 $a_0,\dots,a_{n-1}$，$p$ 不整除 $a_n$，且 $p^2$ 不整除 $a_0$，则多项式在有理数域上不可约。
提示：变量替换的目的是使常数项能被某个素数整除，且其他系数（除首项）也能被该素数整除。
步骤 4/6
目标：应用Eisenstein判别法
取素数 $p=7$，检查 $g(y-1)$ 的系数：
- 首项系数 $1$ 不被 $7$ 整除。
- 其余系数：$-7,21,-35,35,-21,14,-7$ 均被 $7$ 整除。
- 常数项 $-7$ 被 $7$ 整除，且 $7^2=49$ 不整除 $-7$。
满足Eisenstein判别法条件，故 $g(y-1)$ 在有理数域上不可约。
提示：注意检查 $p^2$ 是否整除常数项，这里 $49$ 不整除 $7$，满足条件。
步骤 5/6
目标：得出不可约性结论
由于 $g(y-1)$ 不可约，且变量替换 $x=y-1$ 是可逆的线性变换，因此 $g(x)$ 在有理数域上也不可约。
提示：线性变换保持不可约性，因为若 $g(x)$ 可约，则 $g(y-1)$ 也可约。
步骤 6/6
目标：写出标准分解式
综上，$f(x)=x(x^7+7x+1)$，其中 $x^7+7x+1$ 在有理数域上不可约，这就是 $f(x)$ 在有理数域上的标准分解式。
提示：标准分解式要求分解到不可约多项式，这里 $x$ 是一次不可约多项式。
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