哈尔滨工业大学 2015年高等代数第3题
📝 题目
3．$\displaystyle A, B$ 矩阵为复数域上的二阶矩阵，它们的特征多项式都是 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，问 $A$ 与 $B$是否相似？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征多项式
已知 $A$ 和 $B$ 的特征多项式均为 $f(x)=x^2$，因此它们的特征值都是 $0$（二重根）。对于二阶矩阵，特征多项式为 $x^2$ 意味着迹为 $0$，行列式为 $0$。
公式：$f(x)=x^2$
提示：注意特征多项式相同不一定保证相似，还需要考虑若尔当标准型。
步骤 2/6
目标：列举复数域上二阶矩阵的若尔当标准型
复数域上，特征值全为 $0$ 的二阶矩阵的若尔当标准型只有两种可能：
1. 零矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，即两个一阶若尔当块；
2. 一个二阶若尔当块 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$J_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：不要遗漏零矩阵的情况，它也是若尔当标准型的一种。
步骤 3/6
目标：判断相似的条件
两个矩阵相似当且仅当它们有相同的若尔当标准型。因此，$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们同为零矩阵或同为若尔当块 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。
提示：注意零矩阵和若尔当块不相似，因为它们的若尔当标准型不同。
步骤 4/6
目标：举例说明不相似的情况
例如，取 $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $A$ 和 $B$ 的特征多项式均为 $x^2$，但 $A$ 的若尔当标准型是零矩阵，$B$ 的是若尔当块，故 $A$ 与 $B$ 不相似。
提示：验证特征多项式相同但若尔当标准型不同即可说明不相似。
步骤 5/6
目标：举例说明相似的情况
例如，取 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $A$ 和 $B$ 的特征多项式均为 $x^2$，且它们的若尔当标准型都是 $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（通过相似变换可化为相同形式），故 $A$ 与 $B$ 相似。
提示：注意非零的若尔当块之间总是相似的，因为可以通过缩放变换得到。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$A$ 与 $B$ 不一定相似。它们相似当且仅当它们有相同的若尔当标准型，即同为零矩阵或同为非零的若尔当块。
提示：最终答案要明确：不一定相似，并给出充要条件。
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