哈尔滨工业大学 2016年高等代数第7题
📝 题目
7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明：
（1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ；
（2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立线性变换的表示
设 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ 下的矩阵为 Jordan 块 $J(\lambda)$，即
\[
\sigma(\varepsilon_1)=\lambda\varepsilon_1, \quad \sigma(\varepsilon_i)=\varepsilon_{i-1}+\lambda\varepsilon_i \ (i=2,\dots,n).
\]
公式：\sigma(\varepsilon_i)=\varepsilon_{i-1}+\lambda\varepsilon_i
提示：注意 Jordan 块的定义，对角元为 λ，次对角元为 1，其余为 0。
步骤 2/5
目标：证明 (1) 的第一步：取非零向量并确定最小指标
设 $W$ 是 $V$ 的非零 $\sigma$-子空间。取 $0\neq w\in W$，可唯一表示为 $w=\sum_{i=1}^n a_i\varepsilon_i$。令 $k=\min\{i\mid a_i\neq 0\}$，则 $w=a_k\varepsilon_k+\cdots+a_n\varepsilon_n$，$a_k\neq0$。
提示：最小指标 k 的存在性由 w 非零保证。
步骤 3/5
目标：证明 (1) 的第二步：计算 (σ-λI) 的作用
考虑 $\sigma-\lambda I$ 的作用：
\[
(\sigma-\lambda I)\varepsilon_i=\begin{cases}
0, & i=1,\\
\varepsilon_{i-1}, & i>1.
\end{cases}
\]
于是 $\sigma-\lambda I$ 将 $\varepsilon_i$ 映射为 $\varepsilon_{i-1}$（当 i>1），且零化 $\varepsilon_1$。
公式：(\sigma-\lambda I)\varepsilon_i = \varepsilon_{i-1} \ (i>1)
提示：注意 (σ-λI) 是幂零变换，每次降低下标 1。
步骤 4/5
目标：证明 (1) 的第三步：应用幂零变换得到 ε_n
计算 $(\sigma-\lambda I)^{n-k}w$。由于每作用一次 $\sigma-\lambda I$，向量中非零分量的下标减少 1，且 $a_k$ 非零，经过 $n-k$ 次后，得到 $a_k\varepsilon_n$。即
\[
(\sigma-\lambda I)^{n-k}w = a_k\varepsilon_n.
\]
因为 $W$ 是 $\sigma$-子空间，所以对 $\sigma-\lambda I$ 封闭，故 $(\sigma-\lambda I)^{n-k}w\in W$，从而 $\varepsilon_n\in W$。
公式：(\sigma-\lambda I)^{n-k}w = a_k\varepsilon_n
提示：注意幂次 n-k 的选取，确保结果恰好是 ε_n 的倍数。
步骤 5/5
目标：证明 (2) 的假设与矛盾
假设 $V=U\oplus W$，其中 $U,W$ 是非平凡的 $\sigma$-子空间。由 (1) 知 $\varepsilon_n\in U$ 且 $\varepsilon_n\in W$，则 $\varepsilon_n\in U\cap W$。但直和的定义要求 $U\cap W=\{0\}$，矛盾。故不能分解。
提示：注意直和分解要求子空间交为 {0}，而 (1) 表明任何非零 σ-子空间都包含 ε_n，导致交非零。
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