📝 哈尔滨工业大学 2016年高等代数真题

1．$\displaystyle M_{n}$ 为 $n$ 级矩阵全体组成的线性空间，

$$
U=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{T}\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{T}\right\}
$$

证明：（1）$\displaystyle U, W$ 为 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；（2）$\displaystyle M_{n}=U \oplus W$ 。

2．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & a & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 。
（1）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，$A$ 与 $B$ 等价；
（2）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，$A$ 与 $B$ 相似；
（3）$\displaystyle a, b, c$ 分别满足什么条件时，在复数域上 $A$ 与 $B$ 合同。

3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ，
（II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$
证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。

4．$A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle A^{2}-2 A-3 I=0$ ，证明 $\displaystyle r(A+I)+r(A-3 I)=n$ 。

5．设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $A$ 为列满秩矩阵的充要条件为存在一个 $\displaystyle m \times p$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ 。

6．s，$t$ 为给定复数，$\displaystyle t \neq 0, n>m>0$ 。证明方程 $\displaystyle x^{n}+s x^{n-m}+t=0$ 没有大于 2 次的复根。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明：
（1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ；
（2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

8．证在复数内任何一个 $n$ 级矩阵 $A$ 可表示成一个可对角化矩阵 $B$ 与一个幂零矩阵 $C$ 之和。

9．$A$ 为 $n$ 级正定矩阵，证明存在一个上三角矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle A=U^{T} U$ 。

10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。