哈尔滨工业大学 2016年高等代数第6题
📝 题目
6．s，$t$ 为给定复数，$\displaystyle t \neq 0, n>m>0$ 。证明方程 $\displaystyle x^{n}+s x^{n-m}+t=0$ 没有大于 2 次的复根。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：假设存在重数≥3的根
设 $f(x)=x^n+sx^{n-m}+t$，其中 $t\neq0$，$n>m>0$。假设 $\alpha$ 是 $f(x)=0$ 的根，且重数 $k\geq3$，则 $\alpha$ 是 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 的根。
提示：注意重根条件：若 $\alpha$ 是 $k$ 重根，则 $f(\alpha)=f'(\alpha)=\cdots=f^{(k-1)}(\alpha)=0$。
步骤 2/7
目标：计算导数并代入根条件
计算导数：
$$f'(x)=nx^{n-1}+s(n-m)x^{n-m-1},$$
$$f''(x)=n(n-1)x^{n-2}+s(n-m)(n-m-1)x^{n-m-2}.$$
由于 $\alpha\neq0$（否则 $t=0$ 矛盾），代入 $f(\alpha)=0$ 和 $f'(\alpha)=0$：
$$\alpha^n+s\alpha^{n-m}+t=0, \tag{1}$$
$$n\alpha^{n-1}+s(n-m)\alpha^{n-m-1}=0. \tag{2}$$
公式：导数公式
提示：注意 $\alpha\neq0$ 的推导：若 $\alpha=0$，则 $f(0)=t=0$，与 $t\neq0$ 矛盾。
步骤 3/7
目标：从 $f'(\alpha)=0$ 解出 $\alpha^m$
由 (2) 得 $\alpha^{n-m-1}(n\alpha^m+s(n-m))=0$，因为 $\alpha\neq0$，所以
$$n\alpha^m+s(n-m)=0 \Rightarrow \alpha^m = -\frac{s(n-m)}{n}. \tag{3}$$
公式：因式分解
提示：提取公因式 $\alpha^{n-m-1}$ 时注意指数非负。
步骤 4/7
目标：利用 $f(\alpha)=0$ 得到 $\alpha^{n-m}$ 表达式
代入 (1)：
$$\alpha^n + s\alpha^{n-m} + t = \alpha^{n-m}(\alpha^m + s) + t = 0.$$
由 (3) 得 $\alpha^m = -\frac{s(n-m)}{n}$，则 $\alpha^m + s = s\left(1-\frac{n-m}{n}\right) = s\frac{m}{n}$。于是
$$\alpha^{n-m} \cdot s\frac{m}{n} + t = 0 \Rightarrow \alpha^{n-m} = -\frac{nt}{sm}. \tag{4}$$
提示：注意 $s\neq0$ 的隐含条件：若 $s=0$，则 (2) 给出 $n\alpha^{n-1}=0$，矛盾。
步骤 5/7
目标：比较 $\alpha^{n-m}$ 的两种表达式
由 (3) 得 $\alpha^m = -\frac{s(n-m)}{n}$，所以
$$\alpha^{n-m} = (\alpha^m)^{\frac{n-m}{m}} = \left(-\frac{s(n-m)}{n}\right)^{\frac{n-m}{m}}.$$
与 (4) 比较得
$$\left(-\frac{s(n-m)}{n}\right)^{\frac{n-m}{m}} = -\frac{nt}{sm}. \tag{5}$$
公式：幂运算
提示：注意指数运算时 $\frac{n-m}{m}$ 可能不是整数，但此处仅用于推导矛盾。
步骤 6/7
目标：利用 $f''(\alpha)=0$ 导出矛盾
由 $f''(\alpha)=0$：
$$n(n-1)\alpha^{n-2}+s(n-m)(n-m-1)\alpha^{n-m-2}=0.$$
提取 $\alpha^{n-m-2}$：
$$\alpha^{n-m-2}\left(n(n-1)\alpha^m + s(n-m)(n-m-1)\right)=0.$$
代入 (3) 得
$$n(n-1)\left(-\frac{s(n-m)}{n}\right) + s(n-m)(n-m-1) = 0,$$
即
$$-s(n-m)(n-1) + s(n-m)(n-m-1) = 0 \Rightarrow s(n-m)(-n+1+n-m-1)=0 \Rightarrow s(n-m)(-m)=0.$$
由于 $t\neq0$，若 $s=0$ 则矛盾（前面已说明），故 $s\neq0$；又 $n>m>0$，所以 $n-m\neq0$，$m\neq0$，因此上式不可能成立。矛盾。
提示：注意化简时合并同类项要仔细。
步骤 7/7
目标：得出结论
假设不成立，所以方程 $x^n+sx^{n-m}+t=0$ 没有重数大于2的根，即没有大于2次的复根。
提示：结论要明确：重数≥3的根不存在。
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