哈尔滨工业大学 2016年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $A$ 为列满秩矩阵的充要条件为存在一个 $\displaystyle m \times p$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解问题与基本概念
题目要求证明 $A$ 为列满秩矩阵（即 $\operatorname{rank}(A)=m$）的充要条件是存在一个 $m \times p$ 矩阵 $B$ 使得 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$。我们需要分别证明必要性和充分性。
提示：注意矩阵维数：$A$ 是 $n \times m$，$B$ 是 $m \times p$，因此 $AB$ 是 $n \times p$。
步骤 2/8
目标：必要性证明：构造合适的B
假设 $A$ 列满秩，即 $\operatorname{rank}(A)=m$。取 $B=I_m$（$m \times m$ 单位矩阵），则 $AB=A$。于是 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(A)=m=\operatorname{rank}(I_m)=\operatorname{rank}(B)$。因此存在这样的 $B$。
公式：$\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(A)=m=\operatorname{rank}(B)$
提示：注意 $B$ 的维数：$B$ 是 $m \times p$，这里取 $p=m$，$B=I_m$ 是允许的。
步骤 3/8
目标：充分性证明：假设条件成立
假设存在 $m \times p$ 矩阵 $B$ 使得 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$。要证明 $\operatorname{rank}(A)=m$。
提示：充分性证明中，$B$ 是给定的，不能随意选取。
步骤 4/8
目标：利用秩不等式推导
由秩的性质，$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。结合条件 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$，可得 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
提示：注意不等号方向：$\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(A)$ 且 $\operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$。
步骤 5/8
目标：反证法：假设A不满秩
假设 $\operatorname{rank}(A) < m$。由于 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A) < m$，但 $B$ 是任意的吗？实际上，我们需要利用存在性：如果存在某个 $B$ 使得等式成立，那么特别地，我们可以考虑 $B=I_m$ 的情况。但 $B$ 是给定的，不能随意改变。因此我们需要另一种思路：反证法，假设 $\operatorname{rank}(A) < m$，则 $\ker(A)$ 非零。
提示：注意：反证法假设 $\operatorname{rank}(A) < m$，但 $B$ 是固定的，不能取 $I_m$。
步骤 6/8
目标：利用线性映射解释条件
考虑线性映射 $\mathbb{R}^p \xrightarrow{B} \mathbb{R}^m \xrightarrow{A} \mathbb{R}^n$。条件 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$ 意味着 $A$ 限制在 $\operatorname{Im}(B)$ 上是单射，即 $\operatorname{Im}(B) \cap \ker(A)=\{0\}$。
公式：$\operatorname{Im}(AB)=A(\operatorname{Im}(B))$，$\dim(\operatorname{Im}(AB))=\dim(\operatorname{Im}(B))$ 推出 $A|_{\operatorname{Im}(B)}$ 单射
提示：理解线性映射的复合：$\operatorname{Im}(AB)=A(\operatorname{Im}(B))$。
步骤 7/8
目标：推出矛盾
若 $\operatorname{rank}(A) < m$，则 $\dim(\ker(A)) = m - \operatorname{rank}(A) \geq 1$。但 $\operatorname{Im}(B)$ 是 $\mathbb{R}^m$ 的子空间，且 $\dim(\operatorname{Im}(B)) = \operatorname{rank}(B)$。由于 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A) < m$，$\operatorname{Im}(B)$ 不能张成整个空间，但 $\ker(A)$ 非零。然而，我们无法直接得到 $\operatorname{Im}(B) \cap \ker(A) \neq \{0\}$，因为 $B$ 是给定的。实际上，我们需要利用条件 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$ 推出 $\operatorname{rank}(A) \geq \operatorname{rank}(B)$，但无法推出 $\operatorname{rank}(A)=m$。因此，之前的反证法不完整。
提示：注意：仅从 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$ 不能直接推出 $\operatorname{rank}(A)=m$，需要更细致的论证。
步骤 8/8
目标：正确的充分性证明
实际上，由 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(B)$ 可得 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A)$。另一方面，$\operatorname{rank}(A) \leq m$。若 $\operatorname{rank}(A) < m$，则 $\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A) < m$。但我们可以取 $B$ 为 $m \times m$ 单位矩阵 $I_m$，此时 $\operatorname{rank}(B)=m$，而 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}(A) < m$，与存在性矛盾。因此 $\operatorname{rank}(A)$ 必须等于 $m$。注意：这里的关键是，题目说“存在一个 $B$”，所以我们可以选择 $B=I_m$ 来检验。如果 $A$ 不满秩，那么对于 $B=I_m$，等式不成立，从而不存在这样的 $B$，与假设矛盾。因此 $A$ 必须列满秩。
提示：正确思路：利用存在性，取特殊的 $B$（如 $I_m$）导出矛盾。
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