哈尔滨工业大学 2016年高等代数第8题
📝 题目
8．证在复数内任何一个 $n$ 级矩阵 $A$ 可表示成一个可对角化矩阵 $B$ 与一个幂零矩阵 $C$ 之和。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用Jordan标准形定理
对于任意n级复矩阵A，由Jordan标准形定理，存在可逆矩阵P使得$P^{-1}AP = J$，其中J是Jordan标准形，即$J = \operatorname{diag}(J_{n_1}(\lambda_1), J_{n_2}(\lambda_2), \dots, J_{n_k}(\lambda_k))$，每个Jordan块$J_{n_i}(\lambda_i) = \lambda_i I_{n_i} + N_{n_i}$，$N_{n_i}$是幂零矩阵（主对角线元素为0，次对角线元素为1，其余为0）。
公式：$P^{-1}AP = J = \operatorname{diag}(J_{n_1}(\lambda_1), \dots, J_{n_k}(\lambda_k))$
提示：注意Jordan标准形存在性依赖于复数域，且每个Jordan块对应一个特征值。
步骤 2/6
目标：分解Jordan标准形为对角部分和幂零部分
令$D = \operatorname{diag}(\lambda_1 I_{n_1}, \lambda_2 I_{n_2}, \dots, \lambda_k I_{n_k})$，$N = \operatorname{diag}(N_{n_1}, N_{n_2}, \dots, N_{n_k})$，则$J = D + N$。其中D是对角矩阵（可对角化），N是分块对角矩阵，每个块$N_{n_i}$是幂零矩阵，因此N也是幂零矩阵。
公式：$J = D + N$，$D$对角，$N$幂零
提示：注意$N_{n_i}$的幂零指数为$n_i$，即$N_{n_i}^{n_i}=0$。
步骤 3/6
目标：将分解回代到原矩阵A
由$A = PJP^{-1}$，代入$J = D + N$得$A = P(D+N)P^{-1} = PDP^{-1} + PNP^{-1}$。令$B = PDP^{-1}$，$C = PNP^{-1}$，则$A = B + C$。
公式：$A = PDP^{-1} + PNP^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序：$P(D+N)P^{-1} = PDP^{-1} + PNP^{-1}$，因为$P$可逆。
步骤 4/6
目标：验证B可对角化
由于$B = PDP^{-1}$，且D是对角矩阵，因此B相似于对角矩阵D，故B可对角化。
公式：$B \sim D$
提示：可对角化定义为存在可逆矩阵使其相似于对角矩阵，这里P就是那个可逆矩阵。
步骤 5/6
目标：验证C是幂零矩阵
由于$C = PNP^{-1}$，且N是幂零矩阵，即存在正整数m使得$N^m = 0$，则$C^m = (PNP^{-1})^m = P N^m P^{-1} = 0$，故C也是幂零矩阵。
公式：$C^m = P N^m P^{-1} = 0$
提示：注意幂零矩阵的相似变换保持幂零性，且幂零指数不变。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，任意n级复矩阵A可表示为$A = B + C$，其中B可对角化，C幂零。
提示：该分解称为Jordan-Chevalley分解，且B和C可交换（因为D和N可交换）。
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