哈尔滨工业大学 2016年高等代数第3题
📝 题目
3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ，
（II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$
证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知向量组（I）$\alpha_1,\dots,\alpha_s$ 线性无关，向量组（II）$\beta_1,\dots,\beta_t$ 满足 $\beta_j = \sum_{i=1}^s k_{ji} \alpha_i$，其中 $j=1,\dots,t$。定义矩阵 $K = (k_{ji})_{t\times s}$。
公式：$\beta_j = \sum_{i=1}^s k_{ji} \alpha_i$
提示：注意 $K$ 的行对应 $\beta_j$，列对应 $\alpha_i$。
步骤 2/6
目标：构造线性映射
考虑线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^s \to \mathbb{R}^n$，定义在标准基 $e_1,\dots,e_s$ 上为 $\varphi(e_i) = \alpha_i$。由于 $\alpha_i$ 线性无关，$\varphi$ 是单射（即核为 $\{0\}$）。
公式：$\varphi(e_i) = \alpha_i$
提示：单射性保证 $\varphi$ 保持线性无关性。
步骤 3/6
目标：表示 $\beta_j$ 为 $\varphi$ 的像
设 $\mathbf{k}_j = (k_{j1},\dots,k_{js})^T$ 为 $\beta_j$ 在基 $\alpha_i$ 下的坐标向量，则 $\beta_j = \sum_{i=1}^s k_{ji} \alpha_i = \varphi(\mathbf{k}_j)$。
公式：$\beta_j = \varphi(\mathbf{k}_j)$
提示：注意 $\mathbf{k}_j$ 是列向量，对应 $K$ 的第 $j$ 行转置。
步骤 4/6
目标：利用单射性保持线性关系
由于 $\varphi$ 是单射，向量组 $\beta_1,\dots,\beta_t$ 线性无关当且仅当 $\mathbf{k}_1,\dots,\mathbf{k}_t$ 线性无关。更一般地，$\beta_1,\dots,\beta_t$ 的秩等于 $\mathbf{k}_1,\dots,\mathbf{k}_t$ 的秩。
公式：$\operatorname{rank}\{\beta_1,\dots,\beta_t\} = \operatorname{rank}\{\mathbf{k}_1,\dots,\mathbf{k}_t\}$
提示：单射性保证线性关系一一对应。
步骤 5/6
目标：将坐标向量组与矩阵 $K$ 关联
向量组 $\mathbf{k}_1,\dots,\mathbf{k}_t$ 的秩等于矩阵 $K$ 的行秩，因为 $K$ 的第 $j$ 行就是 $\mathbf{k}_j^T$。而行秩等于矩阵的秩，所以 $\operatorname{rank}\{\mathbf{k}_1,\dots,\mathbf{k}_t\} = \operatorname{rank}(K)$。
公式：$\operatorname{rank}(K) = \text{行秩}(K)$
提示：注意行秩与列秩相等。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，$\operatorname{rank}\{\beta_1,\dots,\beta_t\} = \operatorname{rank}(K)$，即向量组（II）的秩等于矩阵 $K$ 的秩。
公式：$\operatorname{rank}(\beta_1,\dots,\beta_t) = \operatorname{rank}(K)$
提示：结论成立的关键是 $\alpha_i$ 线性无关。
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