哈尔滨工业大学 2016年高等代数第2题

矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的所有行成比例，因此秩为1。

矩阵 $B = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 是上三角矩阵。秩取决于非零行的情况： - 若 $a \neq 0$，第一行非零；第二行 $(0,b,c)$ 与第一行 $(0,a,0)$ 线性无关当且仅当 $c \neq 0$，此时秩为2；若 $c=0$，则第二行与第一行成比例，秩为1。 - 若 $a=0$，第一行为零；第二行非零当且仅当 $c \neq 0$ 或 $b \neq 0$，此时秩为1；若 $b=c=0$，则秩为0。 因此，$B$ 的秩为1当且仅当：$(a \neq 0 \text{ 且 } c=0)$ 或 $(a=0 \text{ 且 } c \neq 0)$ 或 $(a=0 \text{ 且 } c=0 \text{ 且 } b \neq 0)$。

矩阵等价当且仅当秩相等。由于 $A$ 的秩为1，$A$ 与 $B$ 等价当且仅当 $B$ 的秩为1，即上述条件。

相似矩阵必须有相同的特征值。$A$ 的特征值：由于 $A$ 是秩1矩阵且迹为3，特征值为3（单重）和0（二重）。$B$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素：0,0,0。因此 $A$ 有非零特征值3，而 $B$ 的特征值全为0，故无论 $a,b,c$ 取何值，$A$ 与 $B$ 都不相似。

由于特征值不同，不存在 $a,b,c$ 使得 $A$ 与 $B$ 相似。

在复数域上，合同通常针对对称矩阵。$B$ 对称当且仅当 $B^T = B$，即 $a=0$ 且 $c=0$，此时 $B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。$B$ 的秩为1当且仅当 $b \neq 0$。复数域上，秩相同的对称矩阵都合同，因此 $A$ 与 $B$ 合同当且仅当 $a=0, c=0, b \neq 0$。

（1）等价条件：$(a \neq 0 \text{ 且 } c=0)$ 或 $(a=0 \text{ 且 } c \neq 0)$ 或 $(a=0 \text{ 且 } c=0 \text{ 且 } b \neq 0)$。 （2）相似条件：不存在。 （3）复数域上合同条件：$a=0, c=0, b \neq 0$。