哈尔滨工业大学 2016年高等代数第1题
📝 题目
1．$\displaystyle M_{n}$ 为 $n$ 级矩阵全体组成的线性空间，
$$
U=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{T}\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{T}\right\}
$$
证明：（1）$\displaystyle U, W$ 为 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；（2）$\displaystyle M_{n}=U \oplus W$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明U是子空间
首先验证零矩阵$O$属于$U$，因为$O^T=O$。其次，对任意$A,B\in U$，有$(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$，故$A+B\in U$。最后，对任意$A\in U$和标量$k$，有$(kA)^T=kA^T=kA$，故$kA\in U$。因此$U$是$M_n$的子空间。
公式：$(A+B)^T=A^T+B^T$, $(kA)^T=kA^T$
提示：注意验证子空间的三条：零元、加法封闭、数乘封闭。
步骤 2/5
目标：证明W是子空间
首先验证零矩阵$O$属于$W$，因为$O^T=-O$。其次，对任意$A,B\in W$，有$(A+B)^T=A^T+B^T=-A-B=-(A+B)$，故$A+B\in W$。最后，对任意$A\in W$和标量$k$，有$(kA)^T=kA^T=k(-A)=-kA$，故$kA\in W$。因此$W$是$M_n$的子空间。
公式：$(A+B)^T=A^T+B^T$, $(kA)^T=kA^T$
提示：注意$W$中矩阵满足$A^T=-A$，数乘时负号要正确处理。
步骤 3/5
目标：证明$M_n=U+W$
对任意$A\in M_n$，定义$B=\frac{1}{2}(A+A^T)$，$C=\frac{1}{2}(A-A^T)$。则$B^T=\frac{1}{2}(A^T+A)=B$，故$B\in U$；$C^T=\frac{1}{2}(A^T-A)=-C$，故$C\in W$。且$A=B+C$，所以任意矩阵可分解为对称与反对称矩阵之和，即$M_n=U+W$。
公式：$A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T)$
提示：分解式中的系数$\frac{1}{2}$不能遗漏，否则不满足对称性。
步骤 4/5
目标：证明$U\cap W=\{O\}$
设$A\in U\cap W$，则$A=A^T$且$A=-A^T$，从而$A=-A$，即$2A=O$，所以$A=O$。因此$U$与$W$的交集只有零矩阵。
公式：$A=-A \Rightarrow 2A=O$
提示：注意矩阵等式$A=-A$意味着每个元素满足$a_{ij}=-a_{ij}$，从而所有元素为零。
步骤 5/5
目标：结论：直和成立
由$M_n=U+W$且$U\cap W=\{O\}$，根据直和的定义，$M_n=U\oplus W$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件，缺一不可。
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