哈尔滨工业大学 2016年高等代数第4题
📝 题目
4．$A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle A^{2}-2 A-3 I=0$ ，证明 $\displaystyle r(A+I)+r(A-3 I)=n$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分解已知条件
已知 $A^2 - 2A - 3I = 0$，将其因式分解为 $(A+I)(A-3I) = 0$。
公式：$A^2 - 2A - 3I = (A+I)(A-3I)$
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但这里因式分解成立是因为 $A$ 与 $I$ 可交换。
步骤 2/6
目标：引入新变量简化表达
设 $B = A+I$，$C = A-3I$，则条件化为 $BC = 0$。
公式：$B = A+I$, $C = A-3I$, $BC = 0$
提示：注意 $B$ 和 $C$ 都是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 3/6
目标：应用秩不等式
由 $BC = 0$，根据秩不等式，有 $r(B) + r(C) \leq n$。这是因为 $BC=0$ 意味着 $C$ 的列空间包含于 $B$ 的零空间，从而 $\dim \text{Im}(C) \leq \dim \ker(B)$，即 $r(C) \leq n - r(B)$。
公式：$r(B) + r(C) \leq n$
提示：注意秩不等式 $r(AB) \geq r(A) + r(B) - n$ 的另一种形式，这里直接使用 $BC=0$ 推导。
步骤 4/6
目标：建立另一个不等式
计算 $B - C = (A+I) - (A-3I) = 4I$，因此 $r(B-C) = r(4I) = n$。由秩不等式 $r(B) + r(C) \geq r(B-C)$，得 $r(B) + r(C) \geq n$。
公式：$B - C = 4I$, $r(B-C) = n$, $r(B) + r(C) \geq r(B-C)$
提示：注意 $r(B-C) \leq r(B) + r(C)$ 是常用的秩不等式，不要记反方向。
步骤 5/6
目标：综合两个不等式
由 $r(B) + r(C) \leq n$ 和 $r(B) + r(C) \geq n$，可得 $r(B) + r(C) = n$。
公式：$r(B) + r(C) = n$
提示：注意两个不等式方向相反，才能推出相等。
步骤 6/6
目标：代回原变量
将 $B = A+I$，$C = A-3I$ 代入，得 $r(A+I) + r(A-3I) = n$。
公式：$r(A+I) + r(A-3I) = n$
提示：注意不要混淆 $A+I$ 和 $A-3I$ 的秩。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。