哈尔滨工业大学 2016年高等代数第9题
📝 题目
9．$A$ 为 $n$ 级正定矩阵，证明存在一个上三角矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle A=U^{T} U$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用正定矩阵的对角化
由于 $A$ 是正定矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。令 $\Lambda^{1/2} = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \dots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $A = Q \Lambda Q^T = (Q \Lambda^{1/2})(Q \Lambda^{1/2})^T$。
公式：A = Q \Lambda Q^T, \quad \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n), \; \lambda_i > 0
提示：注意正交矩阵满足 $Q^T = Q^{-1}$，且特征值全为正。
步骤 2/4
目标：定义矩阵B并进行QR分解
令 $B = Q \Lambda^{1/2}$，则 $A = B B^T$。对 $B$ 进行 $QR$ 分解：存在正交矩阵 $\tilde{Q}$ 和上三角矩阵 $U$ 使得 $B = \tilde{Q} U$。于是 $A = (\tilde{Q} U)(\tilde{Q} U)^T = \tilde{Q} U U^T \tilde{Q}^T$。
公式：B = \tilde{Q} U, \quad A = \tilde{Q} U U^T \tilde{Q}^T
提示：QR分解中，$U$ 是上三角矩阵，且通常要求 $U$ 的对角线元素为正（可通过调整符号实现）。
步骤 3/4
目标：利用Cholesky分解直接得到结果
另一种更直接的方法是使用Cholesky分解：正定矩阵 $A$ 存在唯一的Cholesky分解 $A = L L^T$，其中 $L$ 是下三角矩阵且对角线元素为正。取 $U = L^T$，则 $U$ 是上三角矩阵，且 $A = U^T U$。
公式：A = L L^T, \quad U = L^T, \quad A = U^T U
提示：Cholesky分解要求矩阵正定，且分解唯一。注意 $L$ 是下三角，转置后为上三角。
步骤 4/4
目标：验证上三角矩阵U的存在性
由Cholesky分解的存在性定理，任何正定矩阵 $A$ 都可以唯一地分解为 $A = L L^T$，其中 $L$ 是下三角矩阵。因此，取 $U = L^T$ 即得到所需的上三角矩阵。
提示：Cholesky分解是数值线性代数中常用的方法，需确保矩阵对称正定。
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