哈尔滨工业大学 2016年高等代数第10题
📝 题目
10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件
设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，则 $\dim W = m < n$。题目要求存在 $V$ 的一组基 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 使得每个 $\alpha_i \in W$。但 $W$ 的维数小于 $n$，因此 $W$ 中最多有 $m$ 个线性无关的向量，不可能包含 $n$ 个线性无关的向量。所以原题条件不可能成立，除非 $W = V$，但 $W$ 是真子空间，故矛盾。
提示：注意真子空间的维数严格小于全空间，因此不能包含全空间的一组基。
步骤 2/6
目标：指出题目错误并修正
原题应为：存在 $V$ 的基底 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$，使得 $\alpha_1, \dots, \alpha_m \in W$，而 $\alpha_{m+1}, \dots, \alpha_n \notin W$。下面按修正后的题目证明。
提示：审题时注意真子空间与全空间维数的差异。
步骤 3/6
目标：取W的一组基
设 $\dim W = m$，取 $W$ 的一组基 $\beta_1, \dots, \beta_m$。这组基线性无关且张成 $W$。
提示：基向量必须线性无关且属于W。
步骤 4/6
目标：扩充基至全空间
由于 $W$ 是真子空间，存在向量 $\alpha_{m+1} \notin W$。考虑集合 $\{\beta_1, \dots, \beta_m, \alpha_{m+1}\}$，它是线性无关的（因为 $\alpha_{m+1}$ 不能由 $\beta_1, \dots, \beta_m$ 线性表示）。若 $m+1 < n$，则存在 $\alpha_{m+2} \notin \operatorname{span}\{\beta_1, \dots, \beta_m, \alpha_{m+1}\}$，继续添加，直到得到 $n$ 个线性无关的向量 $\beta_1, \dots, \beta_m, \alpha_{m+1}, \dots, \alpha_n$，它们构成 $V$ 的一组基。
提示：每次添加的向量必须不在当前张成的子空间中，以保证线性无关。
步骤 5/6
目标：命名基向量
令 $\alpha_i = \beta_i$ 对于 $i=1,\dots,m$，而 $\alpha_{m+1}, \dots, \alpha_n$ 如上选取。则 $\alpha_1, \dots, \alpha_m \in W$，$\alpha_{m+1}, \dots, \alpha_n \notin W$，且 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一组基。
提示：注意区分属于W和不属于W的向量。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $V$ 的一组基，使得前 $m$ 个向量属于 $W$，后 $n-m$ 个向量不属于 $W$。原题要求所有向量属于 $W$ 是不可能的，故题目有误。
提示：结论应与修正后的题目一致。
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