哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
一．已知 $\displaystyle A, B$ 是复数域上的两个 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle |A B|=|A||B|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义矩阵乘积和行列式
设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，$B=(b_{ij})_{n\times n}$，则 $AB$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$。行列式 $|AB|$ 定义为 $|AB| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n c_{i,\sigma(i)}$。
公式：$|AB| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n c_{i,\sigma(i)}$
提示：注意行列式的定义中求和是对所有排列 $\sigma$，且符号由排列的奇偶性决定。
步骤 2/6
目标：将乘积元素代入行列式
将 $c_{i,\sigma(i)}$ 的表达式代入：$|AB| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n \left( \sum_{k_i=1}^n a_{i k_i} b_{k_i, \sigma(i)} \right)$。
提示：注意每个 $i$ 对应一个求和指标 $k_i$，不要混淆。
步骤 3/6
目标：展开乘积并交换求和顺序
展开乘积得 $\prod_{i=1}^n \left( \sum_{k_i=1}^n a_{i k_i} b_{k_i, \sigma(i)} \right) = \sum_{k_1,\dots,k_n=1}^n \prod_{i=1}^n a_{i k_i} b_{k_i, \sigma(i)}$。于是 $|AB| = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \sum_{k_1,\dots,k_n=1}^n \prod_{i=1}^n a_{i k_i} b_{k_i, \sigma(i)} = \sum_{k_1,\dots,k_n=1}^n \left( \prod_{i=1}^n a_{i k_i} \right) \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n b_{k_i, \sigma(i)}$。
提示：交换求和顺序时注意内层求和与 $\sigma$ 有关，但 $\prod a$ 与 $\sigma$ 无关，可以提出。
步骤 4/6
目标：分析内层和式的性质
内层和式 $\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n b_{k_i, \sigma(i)}$ 是矩阵 $B$ 的一个子式。若 $(k_1,\dots,k_n)$ 不是 $1,\dots,n$ 的排列，则存在 $i\neq j$ 使得 $k_i=k_j$，此时乘积中两行相同，行列式为零。因此只需考虑 $(k_1,\dots,k_n)$ 为排列的情形。
提示：当 $k_i$ 有重复时，内层和式为零，这是关键简化。
步骤 5/6
目标：将排列情形转化为行列式
设 $\tau$ 为排列 $k_1,\dots,k_n$，即 $k_i = \tau(i)$。则 $\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n b_{\tau(i), \sigma(i)} = \operatorname{sgn}(\tau) |B|$，因为将 $B$ 的行按 $\tau$ 重排后行列式变为 $\operatorname{sgn}(\tau)|B|$。
公式：$\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n b_{\tau(i), \sigma(i)} = \operatorname{sgn}(\tau) |B|$
提示：注意行重排的符号因子 $\operatorname{sgn}(\tau)$ 来自排列 $\tau$ 的奇偶性。
步骤 6/6
目标：代入并化简得到结果
于是 $|AB| = \sum_{\tau \in S_n} \left( \prod_{i=1}^n a_{i,\tau(i)} \right) \operatorname{sgn}(\tau) |B| = |B| \sum_{\tau \in S_n} \operatorname{sgn}(\tau) \prod_{i=1}^n a_{i,\tau(i)} = |B| \cdot |A| = |A||B|$。
公式：$|AB| = |A||B|$
提示：最后一步利用了行列式的定义，注意 $|A| = \sum_{\tau} \operatorname{sgn}(\tau) \prod a_{i,\tau(i)}$。
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