📝 哈尔滨工业大学 2017年高等代数真题

一．已知 $\displaystyle A, B$ 是复数域上的两个 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle |A B|=|A||B|$ 。

七．设 $A$ 是一个 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵，$\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明：$A$ 可以表成一个形如 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), a \neq 0$ 的初等矩阵和有限个 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 和 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 9 \\ c & 1\end{array}\right)$ 的初等矩阵的乘积。

三．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性关关，$\displaystyle \beta_{j}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} \alpha_{i}, j=1,2, \cdots, s$ 。若 $\displaystyle \beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 线性无关，证明 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ccc}a_{41} & \cdots & a_{1 s} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m s}\end{array}\right)=s$ 。

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明：
若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

二．已知方程组 $\displaystyle x_{1}-x_{2}=1, x_{2}-x_{3}=2, x_{3}-x_{4}=3, x_{4}-x_{5}=4, x_{5}-x_{1}=a$ ，求 $a$ 及方程组的通解。

五．已知 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s}$ 是实数域上 $s$ 个两两不同的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha, A_{1} \alpha, A_{2} \alpha, \cdots, A_{s} \alpha$ 也两两不同。

八．已知 $A$ 是 $n$ 阶正定方阵，$\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ 。
（1）证明：$\displaystyle A^{*}$ 是正定矩阵。
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{rr}0 & -x^{T} \\ x & A\end{array}\right|$ 是正定二次型。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

十．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x], \partial(f(x))>0, \partial(g(x))>0$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial(g(x)), \quad \partial(v(x))<\partial(f(x))$ 。

四．已知 $A$ 为 $\displaystyle 3 \times 3$ 矩阵，证明如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ 。那么 $\displaystyle A^{3}=0$ 。