哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
设 $V$ 是欧氏空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，即 $\sigma$ 保持内积：对任意 $\alpha, \beta \in V$，有 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$。设 $W$ 是 $\sigma$ 的不变子空间，即 $\sigma(W) \subseteq W$。要证 $W^\perp$ 也是 $\sigma$ 的不变子空间，即对任意 $\alpha \in W^\perp$，有 $\sigma(\alpha) \in W^\perp$。
提示：注意正交变换的定义：保持内积，且通常假设 $V$ 是有限维欧氏空间，从而 $\sigma$ 可逆。
步骤 2/6
目标：任取 $\alpha \in W^\perp$ 和 $\beta \in W$，利用 $W$ 的不变性将 $\beta$ 表示为 $\sigma(\gamma)$
任取 $\alpha \in W^\perp$，$\beta \in W$。由于 $\sigma$ 是正交变换，从而是可逆的（有限维），且 $\sigma(W) \subseteq W$，因此 $\sigma$ 限制在 $W$ 上是 $W$ 到自身的可逆线性变换，故存在 $\gamma \in W$ 使得 $\beta = \sigma(\gamma)$。
公式：$\beta = \sigma(\gamma)$，其中 $\gamma \in W$
提示：这里需要用到 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制是满射，这依赖于 $\sigma$ 可逆且 $W$ 是有限维不变子空间。若 $V$ 无限维，需额外条件。
步骤 3/6
目标：计算内积 $(\sigma(\alpha), \beta)$ 并利用正交性
计算 $(\sigma(\alpha), \beta) = (\sigma(\alpha), \sigma(\gamma))$。由于 $\sigma$ 是正交变换，保持内积，所以 $(\sigma(\alpha), \sigma(\gamma)) = (\alpha, \gamma)$。
公式：$(\sigma(\alpha), \sigma(\gamma)) = (\alpha, \gamma)$
提示：正交变换保持内积，这是关键性质。
步骤 4/6
目标：利用 $\alpha \in W^\perp$ 得到内积为零
因为 $\alpha \in W^\perp$ 且 $\gamma \in W$，由正交补的定义有 $(\alpha, \gamma) = 0$。因此 $(\sigma(\alpha), \beta) = 0$。
公式：$(\alpha, \gamma) = 0$
提示：注意 $\gamma \in W$ 是上一步得到的。
步骤 5/6
目标：由 $\beta$ 的任意性得出 $\sigma(\alpha) \in W^\perp$
由于 $\beta$ 是 $W$ 中任意向量，且 $(\sigma(\alpha), \beta)=0$ 对所有 $\beta \in W$ 成立，根据正交补的定义，$\sigma(\alpha) \in W^\perp$。
提示：正交补的定义：$W^\perp = \{ x \in V \mid (x, y)=0, \forall y \in W \}$。
步骤 6/6
目标：结论：$W^\perp$ 是 $\sigma$ 的不变子空间
由 $\alpha$ 的任意性，对任意 $\alpha \in W^\perp$ 有 $\sigma(\alpha) \in W^\perp$，即 $\sigma(W^\perp) \subseteq W^\perp$，故 $W^\perp$ 是 $\sigma$ 的不变子空间。
提示：不变子空间的定义：$\sigma(W^\perp) \subseteq W^\perp$。
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