哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
十．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x], \partial(f(x))>0, \partial(g(x))>0$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial(g(x)), \quad \partial(v(x))<\partial(f(x))$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用裴蜀定理
由于 $(f(x), g(x)) = 1$，根据裴蜀定理，存在多项式 $a(x), b(x) \in P[x]$ 使得 $a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1$。
公式：a(x)f(x) + b(x)g(x) = 1
提示：注意裴蜀定理保证存在性，但不保证次数条件。
步骤 2/6
目标：检查次数条件是否满足
若 $\partial(a(x)) < \partial(g(x))$ 且 $\partial(b(x)) < \partial(f(x))$，则直接取 $u(x)=a(x), v(x)=b(x)$ 即可，结论成立。否则，需要进行调整。
提示：注意次数比较是严格小于。
步骤 3/6
目标：用g(x)除a(x)调整u(x)
用 $g(x)$ 除 $a(x)$：存在 $q(x), r(x) \in P[x]$ 使得 $a(x) = q(x)g(x) + r(x)$，其中 $\partial(r(x)) < \partial(g(x))$。代入原式得：
$$(q(x)g(x) + r(x))f(x) + b(x)g(x) = 1$$
整理得：
$$r(x)f(x) + (b(x) + q(x)f(x))g(x) = 1$$
令 $u(x) = r(x)$，$v(x) = b(x) + q(x)f(x)$，则 $\partial(u(x)) < \partial(g(x))$。
公式：a(x) = q(x)g(x) + r(x), \quad \partial(r(x)) < \partial(g(x))
提示：注意带余除法中余数次数严格小于除数次数。
步骤 4/6
目标：证明v(x)的次数条件
现在需要证明 $\partial(v(x)) < \partial(f(x))$。假设 $\partial(v(x)) \ge \partial(f(x))$，则用 $f(x)$ 除 $v(x)$：存在 $q_1(x), r_1(x)$ 使得 $v(x) = q_1(x)f(x) + r_1(x)$，$\partial(r_1(x)) < \partial(f(x))$。代入 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$ 得：
$$u(x)f(x) + (q_1(x)f(x) + r_1(x))g(x) = 1$$
整理得：
$$(u(x) + q_1(x)g(x))f(x) + r_1(x)g(x) = 1$$
令 $u_1(x) = u(x) + q_1(x)g(x)$，$v_1(x) = r_1(x)$，则 $\partial(v_1(x)) < \partial(f(x))$。
公式：v(x) = q_1(x)f(x) + r_1(x), \quad \partial(r_1(x)) < \partial(f(x))
提示：注意这里假设了v(x)次数不小于f(x)次数，目的是导出矛盾。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
现在考虑 $u_1(x)$ 的次数。由于 $\partial(u(x)) < \partial(g(x))$，且 $\partial(q_1(x)g(x)) = \partial(q_1(x)) + \partial(g(x))$。若 $q_1(x) \neq 0$，则 $\partial(u_1(x)) = \partial(g(x)) + \partial(q_1(x)) \ge \partial(g(x))$。但另一方面，由 $u_1(x)f(x) + v_1(x)g(x) = 1$ 且 $\partial(v_1(x)) < \partial(f(x))$，利用次数关系可推出 $\partial(u_1(x)) < \partial(g(x))$（否则左边次数至少为 $\partial(g(x)) + \partial(f(x)) > 0$，矛盾）。因此 $q_1(x)$ 必须为 $0$，从而 $v(x) = r_1(x)$，即 $\partial(v(x)) < \partial(f(x))$。
公式：\partial(u_1(x)) < \partial(g(x))
提示：注意次数推理：若 $\partial(u_1(x)) \ge \partial(g(x))$，则 $u_1(x)f(x)$ 的次数至少为 $\partial(g(x)) + \partial(f(x))$，而 $v_1(x)g(x)$ 的次数小于 $\partial(f(x)) + \partial(g(x))$，和不可能为0。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在多项式 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$ 且 $\partial(u(x)) < \partial(g(x))$，$\partial(v(x)) < \partial(f(x))$。
提示：注意最终得到的u(x)和v(x)就是调整后的多项式。
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