哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明：
若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：应用Hamilton-Cayley定理
由于 $f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，根据Hamilton-Cayley定理，有 $f(A)=0$。
公式：f(A)=0
提示：注意特征多项式是首一多项式，且代入矩阵后为零矩阵。
步骤 2/7
目标：利用最大公因式的表示
设 $d(x)=(f(x),g(x))$，则存在 $u(x),v(x)\in P[x]$ 使得 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$。代入 $A$ 得 $d(A)=u(A)f(A)+v(A)g(A)=v(A)g(A)$，因为 $f(A)=0$。
公式：d(A)=v(A)g(A)
提示：注意多项式运算中，代入矩阵后顺序不变，但乘法是矩阵乘法。
步骤 3/7
目标：推导秩的一个不等式
由 $d(A)=v(A)g(A)$ 可知，$\operatorname{Im}(d(A))\subseteq \operatorname{Im}(g(A))$，因此 $\operatorname{r}(d(A))\le \operatorname{r}(g(A))$。
公式：r(d(A)) ≤ r(g(A))
提示：矩阵乘积的像集包含关系：Im(AB) ⊆ Im(A)。
步骤 4/7
目标：因式分解并引入互质关系
由 $d(x)\mid f(x)$ 和 $d(x)\mid g(x)$，设 $f(x)=d(x)f_1(x)$，$g(x)=d(x)g_1(x)$。由于 $d(x)$ 是最大公因式，$f_1(x)$ 与 $g_1(x)$ 互质，故存在 $a(x),b(x)\in P[x]$ 使得 $a(x)f_1(x)+b(x)g_1(x)=1$。
公式：a(x)f_1(x)+b(x)g_1(x)=1
提示：互质多项式存在裴蜀等式，注意系数多项式。
步骤 5/7
目标：代入矩阵得到恒等式
将 $x=A$ 代入裴蜀等式得 $a(A)f_1(A)+b(A)g_1(A)=I$。
公式：a(A)f_1(A)+b(A)g_1(A)=I
提示：单位矩阵 $I$ 是 $n$ 阶单位阵。
步骤 6/7
目标：证明秩的另一个不等式
由 $g(A)=d(A)g_1(A)$ 知 $\operatorname{Im}(g(A))\subseteq \operatorname{Im}(d(A))$，因为 $\operatorname{Im}(d(A)g_1(A))\subseteq \operatorname{Im}(d(A))$。因此 $\operatorname{r}(g(A))\le \operatorname{r}(d(A))$。
公式：r(g(A)) ≤ r(d(A))
提示：注意矩阵乘积的秩不超过左因子的秩。
步骤 7/7
目标：综合结论
由 $\operatorname{r}(d(A))\le \operatorname{r}(g(A))$ 和 $\operatorname{r}(g(A))\le \operatorname{r}(d(A))$，得 $\operatorname{r}(g(A))=\operatorname{r}(d(A))$。
公式：r(g(A)) = r(d(A))
提示：注意秩是整数，不等式双向成立即相等。
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