哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
八．已知 $A$ 是 $n$ 阶正定方阵，$\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ 。
（1）证明：$\displaystyle A^{*}$ 是正定矩阵。
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{rr}0 & -x^{T} \\ x & A\end{array}\right|$ 是正定二次型。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾正定矩阵的性质
正定矩阵 $A$ 的所有特征值大于0，且 $A$ 可逆。$A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 也是正定矩阵，因为 $A^{-1}$ 的特征值是 $A$ 特征值的倒数，仍大于0。
提示：注意正定矩阵的逆矩阵也是正定的，这是常用性质。
步骤 2/5
目标：表示伴随矩阵与逆矩阵的关系
对于可逆矩阵 $A$，有 $A^* = |A| A^{-1}$，其中 $|A|$ 是 $A$ 的行列式。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：伴随矩阵的定义是 $A^* = (A_{ji})$，但这里用关系式更方便。
步骤 3/5
目标：证明 $A^*$ 正定
由于 $A$ 正定，$|A| > 0$。$A^{-1}$ 正定，所以对任意非零向量 $x$，有 $x^T A^{-1} x > 0$。于是 $x^T A^* x = |A| x^T A^{-1} x > 0$，故 $A^*$ 正定。
公式：$x^T A^* x = |A| x^T A^{-1} x$
提示：注意 $|A|>0$ 是正定矩阵的必要条件，但这里 $|A|$ 是正数，所以 $A^*$ 与 $A^{-1}$ 的正定性一致。
步骤 4/5
目标：化简分块行列式
计算 $f(x) = \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix}$。将第一列乘以 $-1$，行列式值乘以 $(-1)$，得 $f(x) = (-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$。再将第一行乘以 $-1$，得 $f(x) = (-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$。实际上更简单：将第一列乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，再对第一行乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$。但注意符号：实际上 $f(x) = \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = (-1)^n \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，因为将第一列乘以 $-1$ 得 $(-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，再将第一行乘以 $-1$ 得 $(-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，但此时右下角块是 $A$，左下角是 $-x$，不是 $x$。正确做法：将第一列乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，再将第一行乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$。但这不是标准形式。另一种方法：将第一列乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，再将第二行乘以 $-1$ 得 $f(x) = (-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = f(x)$，循环了。实际上，标准做法是：$f(x) = \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = (-1)^n \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，因为将第一列乘以 $-1$ 得 $(-1) \begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，再将第一行乘以 $-1$ 得 $(-1)^2 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ -x & A \end{vmatrix}$，但此时左下角是 $-x$，需要再对第二行乘以 $-1$ 得 $(-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，所以总因子 $(-1)^3$，但 $n=2$ 时？实际上，分块矩阵的行列式公式更简单。我们直接使用公式：$\begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = (-1)^n |A| \cdot (x^T A^{-1} x)$。推导：考虑 $\begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，利用公式 $\begin{vmatrix} 0 & B \\ C & D \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |B||C|$ 当 $D$ 可逆？不，这里用 Schur 补：$\begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix} = |A| \cdot (0 - x^T A^{-1} x) = -|A| x^T A^{-1} x$。所以 $\begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$ 乘以 $(-1)$ 来自第一行？实际上，$\begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix}$ 中第一行乘以 $-1$ 得 $\begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，但行列式值乘以 $(-1)$，所以 $f(x) = - \begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix} = -(-|A| x^T A^{-1} x) = |A| x^T A^{-1} x$。因此 $f(x) = |A| x^T A^{-1} x$。
公式：$\begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix} = -|A| x^T A^{-1} x$
提示：注意符号处理：$\begin{vmatrix} 0 & -x^T \\ x & A \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} 0 & x^T \\ x & A \end{vmatrix}$，然后应用 Schur 补公式。
步骤 5/5
目标：证明 $f(x)$ 是正定二次型
由 $f(x) = |A| x^T A^{-1} x$，因为 $A$ 正定，$|A| > 0$，且 $A^{-1}$ 正定，所以对任意非零向量 $x$，有 $x^T A^{-1} x > 0$，从而 $f(x) > 0$。且 $f(0)=0$，故 $f(x)$ 是正定二次型。
公式：$f(x) = |A| x^T A^{-1} x$
提示：注意 $f(x)$ 是 $x$ 的二次型，其矩阵为 $|A| A^{-1}$，即 $A^*$，所以实际上 $f(x) = x^T A^* x$，由(1)知 $A^*$ 正定，故 $f(x)$ 正定。
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