哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
四．已知 $A$ 为 $\displaystyle 3 \times 3$ 矩阵，证明如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ 。那么 $\displaystyle A^{3}=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题意并引入幂零矩阵概念
已知 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，且存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$。这意味着 $A$ 是幂零矩阵，其幂零指数为 $m$。我们需要证明 $A^3 = 0$。
提示：注意幂零矩阵的定义：存在正整数 $k$ 使得 $A^k = 0$，最小的 $k$ 称为幂零指数。
步骤 2/5
目标：分析幂零矩阵的特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意特征值，对应的特征向量为 $v \neq 0$，则 $A v = \lambda v$。由 $A^m = 0$ 可得 $A^m v = \lambda^m v = 0$，由于 $v \neq 0$，故 $\lambda^m = 0$，从而 $\lambda = 0$。因此 $A$ 的所有特征值均为 $0$。
公式：$A v = \lambda v \Rightarrow A^m v = \lambda^m v$
提示：特征值满足 $\lambda^m = 0$ 推出 $\lambda = 0$，因为 $\lambda$ 是数域中的元素（通常为复数域）。
步骤 3/5
目标：确定特征多项式
由于 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，其特征多项式 $f(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 是 $\lambda$ 的 $3$ 次多项式。又因为 $A$ 的所有特征值均为 $0$，所以特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^3$。
公式：$f(\lambda) = \lambda^3$
提示：特征多项式是首一多项式，且次数等于矩阵阶数。特征值全为零时，特征多项式为 $\lambda^n$。
步骤 4/5
目标：应用 Cayley-Hamilton 定理
Cayley-Hamilton 定理指出：矩阵 $A$ 满足其特征多项式，即 $f(A) = 0$。由于 $f(\lambda) = \lambda^3$，代入得 $A^3 = 0$。
公式：$f(A) = A^3 = 0$
提示：Cayley-Hamilton 定理是线性代数中的重要定理，注意代入时 $\lambda$ 替换为 $A$，常数项乘以单位矩阵。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，我们证明了如果存在正整数 $m$ 使得 $A^m = 0$，那么 $A^3 = 0$。
提示：注意结论与 $m$ 无关，只要 $A$ 是 $3 \times 3$ 幂零矩阵，其幂零指数不超过 $3$。
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