哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
二．已知方程组 $\displaystyle x_{1}-x_{2}=1, x_{2}-x_{3}=2, x_{3}-x_{4}=3, x_{4}-x_{5}=4, x_{5}-x_{1}=a$ ，求 $a$ 及方程组的通解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析方程组结构，寻找隐含条件
观察方程组，发现前四个方程依次涉及 $x_1$ 到 $x_5$ 的相邻差，第五个方程连接 $x_5$ 和 $x_1$。将前四个方程相加：$(x_1-x_2)+(x_2-x_3)+(x_3-x_4)+(x_4-x_5)=1+2+3+4=10$，化简得 $x_1-x_5=10$。
提示：注意方程相加时，中间变量会抵消，得到 $x_1$ 与 $x_5$ 的关系。
步骤 2/5
目标：利用隐含条件确定参数 a
第五个方程为 $x_5-x_1=a$，即 $-(x_1-x_5)=a$。由 $x_1-x_5=10$ 得 $a=-10$。
公式：$x_5-x_1 = a$
提示：注意符号：$x_5-x_1 = -(x_1-x_5)$，所以 $a = -10$。
步骤 3/5
目标：写出增广矩阵并化为行阶梯形
将方程组写成增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 \\
-1 & 0 & 0 & 0 & 1 & -10
\end{pmatrix}
$$
进行行变换：第1行加到第5行，第2行加到第5行，第3行加到第5行，第4行加到第5行，得到行阶梯形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行变换要逐步进行，注意每次只加一行，避免出错。
步骤 4/5
目标：确定自由变量并回代求解
矩阵的秩为4，未知数个数为5，所以有一个自由变量。取 $x_5$ 为自由变量，令 $x_5=t$（$t\in\mathbb{R}$）。从最后一行开始回代：
- 第4行：$x_4 - x_5 = 4 \Rightarrow x_4 = 4 + t$
- 第3行：$x_3 - x_4 = 3 \Rightarrow x_3 = 3 + (4+t) = 7 + t$
- 第2行：$x_2 - x_3 = 2 \Rightarrow x_2 = 2 + (7+t) = 9 + t$
- 第1行：$x_1 - x_2 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 + (9+t) = 10 + t$
提示：回代时从下往上，注意每个方程的形式，不要代错。
步骤 5/5
目标：写出通解形式
将解写成向量形式：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 \\ 9 \\ 7 \\ 4 \\ 0
\end{pmatrix}
+ t
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}
$$
提示：注意特解和齐次解的形式，齐次解对应自由变量系数为1的向量。
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