哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
五．已知 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s}$ 是实数域上 $s$ 个两两不同的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha, A_{1} \alpha, A_{2} \alpha, \cdots, A_{s} \alpha$ 也两两不同。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与反证法假设
题目要求证明存在一个$n$维实列向量$\alpha$，使得$A_1\alpha, A_2\alpha, \ldots, A_s\alpha$两两不同。采用反证法：假设对于任意$n$维实列向量$\alpha$，都存在$i \neq j$使得$A_i\alpha = A_j\alpha$。
提示：注意反证法的假设是“对于任意$\alpha$，都存在某对$i\neq j$使得等式成立”，而不是“存在某个$\alpha$使得所有等式成立”。
步骤 2/6
目标：推导出矛盾条件
由假设，对任意$\alpha$，存在$i \neq j$使得$A_i\alpha = A_j\alpha$，即$(A_i - A_j)\alpha = 0$。由于$\alpha$是任意的，这意味着矩阵$A_i - A_j$将每个向量都映射到零，因此$A_i - A_j$是零矩阵，即$A_i = A_j$。这与已知条件“$A_1, A_2, \ldots, A_s$两两不同”矛盾。
公式：$(A_i - A_j)\alpha = 0$ 对所有$\alpha$成立 $\Rightarrow A_i - A_j = 0$
提示：注意：从“对任意$\alpha$，$(A_i - A_j)\alpha = 0$”推出$A_i - A_j = 0$，这是线性代数中的基本事实，但需注意$i$和$j$依赖于$\alpha$，因此不能直接得出存在固定的$i,j$使得$A_i=A_j$。实际上，反证法假设中$i,j$随$\alpha$变化，因此上述推理不成立。需要更严谨的论证。
步骤 3/6
目标：修正反证法思路：构造集合S
更严谨的证明：考虑集合$S = \{\alpha \in \mathbb{R}^n \mid \exists i \neq j, A_i\alpha = A_j\alpha\}$。我们需要证明$S \neq \mathbb{R}^n$，即存在$\alpha \notin S$，从而$A_1\alpha, \ldots, A_s\alpha$两两不同。
公式：$S = \bigcup_{i
提示：注意$S$是有限个解空间的并集，每个解空间是子空间。
步骤 4/6
目标：分析每个子空间的性质
对任意$i \neq j$，考虑齐次线性方程组$(A_i - A_j)\alpha = 0$的解空间$V_{ij} = \{\alpha \in \mathbb{R}^n \mid (A_i - A_j)\alpha = 0\}$。由于$A_i \neq A_j$，矩阵$A_i - A_j$不是零矩阵，因此$V_{ij}$是$\mathbb{R}^n$的真子空间（即维数小于$n$）。
公式：$\dim V_{ij} < n$
提示：真子空间意味着$V_{ij}$不包含所有向量，但可能覆盖大部分空间。
步骤 5/6
目标：利用有限个真子空间不能覆盖整个空间
实数域上的向量空间$\mathbb{R}^n$不能表示为有限个真子空间的并集。这是因为每个真子空间都是零测集，有限个零测集的并集仍是零测集，而$\mathbb{R}^n$不是零测集。或者用代数方法：取一个不在任何$V_{ij}$中的向量（例如，通过归纳法构造）。因此，$S = \bigcup_{i
公式：$\mathbb{R}^n \neq \bigcup_{i
提示：注意：如果域是有限域，则结论不成立，但这里是实数域。
步骤 6/6
目标：得出结论
存在$\alpha \in \mathbb{R}^n \setminus S$，即对任意$i \neq j$，有$A_i\alpha \neq A_j\alpha$，因此$A_1\alpha, A_2\alpha, \ldots, A_s\alpha$两两不同。
提示：注意$\alpha$是列向量，$A_i\alpha$也是列向量。
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