哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题
📝 题目
三．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性关关，$\displaystyle \beta_{j}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} \alpha_{i}, j=1,2, \cdots, s$ 。若 $\displaystyle \beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 线性无关，证明 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ccc}a_{41} & \cdots & a_{1 s} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m s}\end{array}\right)=s$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将向量组关系用矩阵表示
设矩阵 $A = (a_{ij})_{m \times s}$，则 $\beta_j = \sum_{i=1}^m a_{ij} \alpha_i$，即 $(\beta_1, \dots, \beta_s) = (\alpha_1, \dots, \alpha_m) A$。
公式：$(\beta_1, \dots, \beta_s) = (\alpha_1, \dots, \alpha_m) A$
提示：注意矩阵乘法的顺序：$\alpha_i$ 是行向量，$A$ 是 $m \times s$ 矩阵。
步骤 2/7
目标：利用线性无关性建立方程组
设 $k_1 \beta_1 + \dots + k_s \beta_s = 0$，代入 $\beta_j$ 的表达式得 $\sum_{j=1}^s k_j \sum_{i=1}^m a_{ij} \alpha_i = \sum_{i=1}^m \left( \sum_{j=1}^s a_{ij} k_j \right) \alpha_i = 0$。
公式：$\sum_{i=1}^m \left( \sum_{j=1}^s a_{ij} k_j \right) \alpha_i = 0$
提示：注意求和顺序的交换。
步骤 3/7
目标：由基的线性无关性推出系数为零
由于 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 线性无关，它们构成一组基，因此系数必须全为零：$\sum_{j=1}^s a_{ij} k_j = 0$ 对所有 $i=1,\dots,m$ 成立。
公式：$\sum_{j=1}^s a_{ij} k_j = 0, \ i=1,\dots,m$
提示：基的线性无关性意味着线性组合为零当且仅当所有系数为零。
步骤 4/7
目标：转化为齐次线性方程组
将 $m$ 个方程写成矩阵形式：$A \mathbf{k} = 0$，其中 $\mathbf{k} = (k_1, \dots, k_s)^T$。
公式：$A \mathbf{k} = 0$
提示：注意 $A$ 是 $m \times s$ 矩阵，$\mathbf{k}$ 是 $s$ 维列向量。
步骤 5/7
目标：由向量组无关推出方程组只有零解
已知 $\beta_1, \dots, \beta_s$ 线性无关，所以当 $k_1 \beta_1 + \dots + k_s \beta_s = 0$ 时必有 $k_1 = \dots = k_s = 0$，即 $A \mathbf{k} = 0$ 只有零解。
提示：注意：$\beta$ 线性无关等价于 $A\mathbf{k}=0$ 只有零解。
步骤 6/7
目标：由方程组只有零解推出矩阵列满秩
齐次线性方程组 $A \mathbf{k} = 0$ 只有零解当且仅当 $A$ 的列向量线性无关，即 $\operatorname{rank}(A) = s$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = s$
提示：矩阵的秩等于列向量组的秩，列满秩时秩等于列数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$r\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1s} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{ms} \end{pmatrix} = s$。
提示：注意矩阵下标：题目中写的是 $a_{41}$，但实际应为 $a_{11}$，可能是笔误。
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