哈尔滨工业大学 2017年高等代数第0题

初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。左乘初等矩阵相当于对矩阵进行相应的初等行变换。由于 $A$ 可逆，存在初等行变换将 $A$ 化为单位矩阵 $I$，即存在初等矩阵 $E_1, E_2, \dots, E_k$ 使得 $E_k \cdots E_1 A = I$，从而 $A = E_1^{-1} \cdots E_k^{-1}$。初等矩阵的逆仍是同类型的初等矩阵，因此 $A$ 可表示为初等矩阵的乘积。

三种初等矩阵为： 1. 交换两行：$P = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，其逆为自身。 2. 某行乘以非零常数：$D_1(a) = \begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$D_2(a) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}$，其中 $a \neq 0$，逆分别为 $D_1(a^{-1})$ 和 $D_2(a^{-1})$。 3. 某行加上另一行的倍数：$E_{12}(b) = \begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，$E_{21}(c) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix}$，逆分别为 $E_{12}(-b)$ 和 $E_{21}(-c)$。

交换矩阵 $P = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ 可以表示为： $$P = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$ 其中前三个矩阵是 $E_{12}$ 和 $E_{21}$ 类型，最后一个矩阵是 $D_1(-1)$ 类型，均在允许范围内。

矩阵 $D_2(a) = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix}$ 可以通过交换矩阵和 $D_1(a)$ 表示： $$D_2(a) = P D_1(a) P.$$ 由于 $P$ 已由允许矩阵表示，$D_1(a)$ 也在允许范围内，因此 $D_2(a)$ 也可由允许矩阵表示。

由于 $A$ 可逆，通过初等行变换化为 $I$ 的过程可逆，因此 $A$ 可表示为初等矩阵的乘积。具体地，对 $A$ 进行行化简： 1. 若 $a_{11} \neq 0$，用 $E_{21}(-a_{21}/a_{11})$ 消去 $(2,1)$ 元，再用 $E_{12}(-a_{12}/a_{11})$ 消去 $(1,2)$ 元，然后用 $D_1(a_{11}^{-1})$ 将 $(1,1)$ 元化为 $1$，最后用 $D_2(\det(A))$ 调整 $(2,2)$ 元（因为此时矩阵变为 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \det(A)\end{pmatrix}$）。 2. 若 $a_{11}=0$，则先交换行（用 $P$）使左上角非零，再按上述步骤。 每一步对应的初等矩阵都在允许范围内（$P$ 和 $D_2$ 已表示为允许矩阵的乘积）。

由于每个初等矩阵都可以表示为题目允许的三种矩阵（$D_1(a)$、$E_{12}(b)$、$E_{21}(c)$）的乘积，而 $A$ 是这些初等矩阵的乘积，因此 $A$ 可以表示为形如 $\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix}$ 的初等矩阵的乘积。